Questionnaire à Choix Multiples sur les suites

Bonjour, j'ai quelques problemes pour justifier trois propositions.

Toute suite décroissante et minorée par 0 admet pour limite 0.
J'ai pris la suit Un=1+(1/n)
J'ai prouvé que Un est décroissante mais je n'arrive pas à prouver quelle est minorée par 0.

2.Toute suite non majorée admet pour limite +∞
J'ai trouvé une suite pour laquelle sa marche, $Un=(-1)^n$ n
mais je n'arrive pas à prouver quelle est non majorée.

Toute suite convergente est bornée.

Merci de votre aide.

Bonsoir.
Les propositions 1 et 2 sont fausses (la 3 est vraies). De plus ta méthode pour tenter de les montrer est très mauvaise.

On te demande de montrer que toute suite décroissante et minorée par 0 admet pour limite 0 et tu veux le démontrer dans le cas générale avec un exemple, ça ne peut pas faire une démonstration.
Si tu veux que la propriété est vraie pour toute suite, tu dois prendre une suite QUELCONQUE $u_n$ ), exprimer qu'elle correspond aux hypothèses et montrer qu'alors elle est telle que la proposition dit qu'elle est.
Ici par exemple tu dois : soit $u_n$ ) une suite décroissante et minorée par 0. Tu fais quelques calculs et tu montres qu'elle admet 0 pour limite (enfin en théorie, en pratique tu n'arriveras pas à le montrer puisque c'est faux).

Par contre pour démontrer que la propriété est fausse, là un contre-exemple est tout adapté.

Ta suite définie par $U_n$ =1+1/n est un bon contre-exemple car elle est décroissante. Comme pour tout n∈ $n\mathbb{n}$ , 1/n et 1 sont strictement positif, par somme $U_n$ > 0 donc $U_n$ ) est minoré par 0 et pourtant, quand n tend vers +∞. $U_n$ tend vers 1.
Encore une fois, la suite que tu donne est bien un contre-exemple même si ce n'est pas celui que j'aurais pris.
Pour montrer qu'elle n'est pas majorée tu as plusieurs moyens. Le premier, le plus rigoureux c'est de dire : soit M∈ $r\mathbb{r}$ quelconque et de démontrer qu'alors M n'est pas un majorant de $U_n$ ), c'est à dire qu'il existe n∈ $n\mathbb{n}$ tel que $U_n$ > M. n dépend bien sûr du M choisit.
Dans ton cas par exemple tu aura $U_n$ > M pour le premier entier n pair strictement plus grand que M, je te laisse démontrer pourquoi.
En utilisant astucieusement la définition de la convergence tu peux montrer que une suite $U_n$ ) convergente est bornée à partir d'un certain rang. Et avant le rang en question elle est majorée par la plus grande des valeurs qu'elle prend et minorée par la plus petite d'entre elles.