dm spé math

bonjour, je rencontre des difficultés avec un exercice de mon dm voici le sujet:

On considère l'ensemble E des couples de Z^2 solutions de l'équation 13x - 7y = 1
A) a) Expliquer pourquoi E n'est pas vide.
b)Déterminer une solution a et b de cette équation telle que a soit strictement compris entre 0 et 7.
c)Déterminer l'ensemble E de toute ces solutions.
B) a)Déterminer l'ensemble de toutes les solutions de l'équation 13x - 7 y = 2.
b) Parmis toutes les solutions (x;y) de cette équation, déterminer celle qui vérifient PGCD(x;y)=2;

Alors voila ce que j'ai fait :

A) a) théorème de bézout
b) x=6 et y= 11
c) 13 ET 7 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bézout, l'équation a des solutions, une solution particulière est (6;11), en effet,
13 *6 - 7 * 11 = 1

on a donc 13 x - 17y = 13 6 -711
D'ou 13(-6+x) = 7(y-11)

7 divise 13(-6+x) mais sachant que 7 ET 13 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss 7 divise -6+x

x-6= 7k x=6+7k
y-11= 13k y=11+13k

S= (6+7k) ; ( 11+13k) avec k qui appartient à Z.

B)a) je multiplis par 2 la première solution particulière puis j'applique la meme méthode et j'obtient S= (12+7k) ; ( 22+13k) avec k qui appartient à Z.

b) je ny arrive pas.

Merci d'avance pour vos réponses.

Salut,

D'abord pour la question 3c, il manque la vérification. En effet tu ne prouves pas que k est le même pour x et y.

Pour la question 4b :

Soit (a;b) le couple recherché. Alors existent a' et b' tels que
a=2a' et b=2b' et PGCD(a';b')=1

Or (a';b')=(6+7k' ; 11+13k')
et (a;b)=(12+7k ; 22+13k)

On résout le système a=2a' et b=2b' pour trouver k=k'=0
ce qui te permet de trouver le couple (a;b).