Dérivation (fraction rationnelle, équation de la tangente)

Bonjour, j'ai un devoir maison et je ne comprend pas un exercice pouvez vous m'aider s'il vous plait. Voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur R-{1} par $f(x)=x2−3x+6x−1f(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

On appelle (Cf) sa représentation graphique dans un repère (O;i,j).

a) Préciser,en justifiant,l'ensemble où la fonction f est dérivable.
b)Pour x appartenant à cet ensemble, déterminer f '(x)
Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d'abscisse 2.
Déterminer les abscisses des points de(Cf) où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
Peut-on trouver des points de (Cf) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x.
Déterminer les abscisses des points de (Cf) où la tangente a pour coefficient directeur -3.

salut amandine

qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

*1) a) Préciser, en justifiant, l'ensemble où la fonction f est dérivable.

b) Pour x appartenant à cet ensemble, déterminer f '(x)*

a) il y a évidemment un seul nombre à exclure, à cause de la division.

b) un calcul de dérivée : ta fonction est un quotient ; tu as certainement vu une formule qui concerne les fonctions de la forme u(x)/v(x).

ok ? on verra le reste plus tard.

Slt

Pour la question 1)a j'ai trouvée:
la fonction f est dérivable sur R*=]-∞;1[union ]1;+∞[ , car on ne peut pas avoir un dénominateur égale à 0 .

Pour la question 1)b j'ai trouvée avec la formule que vous m'avais donné f'(x)=x²-2x-3/(x-1)²

pouvez vous me dire si j'ai bon?

Merci beaucoup de m'aider.

vérif :

$f′(x)=(x2−3x+6x−1)′=(x−1)×(2x−3)−1×(x2−3x+6)(x−1)2=2x2−5x+3−x2+3x−6(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\small f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3x + 6}{x-1}\right)' = \frac{(x-1)\times(2x -3) - 1\times(x^2 - 3x + 6)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 -5x+ 3 - x^2 + 3x - 6}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$

ok !

pour la première question, on dit que la fonction "inverse" est dérivable en toute valeur où son dénominateur ne s'annule pas.

Merci de m'avoir aidé pour cette premiére question.

Pour la deuxiéme j'ai trouvée:

Equation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2
y=f'(a) (x-a)+ f(a)
y=f'(2) (x-2)+f(2)

f'(2)=2²-2×2-3 / (2-1)²
=4-4-3 / 1
=-3

f(2)=2²-3×2+6 / 2-1
=4-6+6 / 1
=4

je remplace dans la formule:

y= -3 (x-2)+4
=-3x+6+4
=-3x+10

je pense que c'est la bonne réponse mais je ne suis pas sur c'est pourquoi j'aimerais que tu m'aide.
ENCORE MERCI

ok !

merci , par contre je n'arrive pas à commencer la question trois pouvez vous me donner un petit indice svp?

3) Déterminer les abscisses des points de(Cf) où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

c'est très simple : les droites (obliques ou horizontales) sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. ici, le coeff dir de (Ox) est 0, et celui de la tangente cherchée est de façon générale le nombre $f′(a)\small f'(a)$ : tu dois donc résoudre
$f^{'} (a) = 0$ .

SLT pour la question 3 j'ai trouvé:
x²-2x-3
=b²-4ac
=-2²-4×1×-3
=4+12
=16
∇>0 donc il y a deux solutions:
x1=-b-√∇ / 2a
= -(-2)-√16 /2×1
=2-4/2
=-1

x2=-b²-√∇ / 2a
=-(-2)+4 / 2×1
= 3

c'est correct??

Pour la question 4 j'ai trouvée:

x²-3x+6 / x-1 =1
x²-3x+6 / (x-1) - (x-1)² / (x-1)² = 0
x²-3x+6-x²+1² / (x-1) =0
-3x+6+1 / (x-1)² =0
-3x+7/ (x-1)² =0

pour la question 5 doit je faire f'(a)=-3??

re.

je n'ai pas vérifié tes calculs pour la question 4.

pour la 5, c'est la bonne méthode : continue !

exhumation de cet ancien sujet à la demande de Cooki-melo.

5) Déterminer les abscisses des points de (Cf) où la tangente a pour coefficient directeur -3.

soit a l'abscisse d'un tel point.
il s'agit alors de résoudre l'équation f'(a) = -3 d'inconnue a, puisque la coeff directeur de la tangente en a est égal au nombre dérivé de f en a.

donc on doit résoudre

$\frac{a^2 - 2a - 3}{(a-1)^2} = -3$
voici comment faire : tout mettre dans le membre de gauche puis mettre sur le même dénominateur ; ensuite factoriser le numérateur pour enfin résoudre une équation-produit nul, comme en 3e.

à toi, Cookie !

Zauctore

exhumation de cet ancien sujet à la demande de Cooki-melo.

5) Déterminer les abscisses des points de (Cf) où la tangente a pour coefficient directeur -3.

soit a l'abscisse d'un tel point.
il s'agit alors de résoudre l'équation f'(a) = -3 d'inconnue a, puisque la coeff directeur de la tangente en a est égal au nombre dérivé de f en a.

donc on doit résoudre

$\frac{a^2 - 2a - 3}{(a-1)^2} = -3$
voici comment faire : tout mettre dans le membre de gauche puis mettre sur le même dénominateur ; ensuite factoriser le numérateur pour enfin résoudre une équation-produit nul, comme en 3e.

à toi, Cookie !

J'ai suivi vos conseils mais j'avoue que je bloque toujours, car j'ai maintenant une équation de la forme:

(4x+4)(x+5)/(x+3)²=0

Je doute sur la manière de la résoudre!

(4x+4)(x+5)/(x+3)² = 0 me semble faux (cf dénominateur)

peux-tu écrire tes calculs ?

Zauctore
(4x+4)(x+5)/(x+3)² = 0 me semble faux (cf dénominateur)

peux-tu écrire tes calculs ?

f'(x)=x²+6x+5/(x+3)²=-3

f'(x)=x²+6x+5+3x²+18x+15/(x+3)²=0

f'(x)=4x²+24x+20/(x+3)²=0

f'(x)=(4x+4)(x+5)/(x+3)² = 0

ah ok c'est une autre fonction f...

bien maintenant c'est un produit nul

A×B = 0 lorsque ...
classe de 3e.

rq : le dénominateur interdit que x+3 = 0.

AxB=0 lorsque A=0 et B=0. Je crois!

cela veut dire que pour trouver les solutions il faut que je fasse:

4x+4=0
x+5=0
x+3=0

C'est cela, nan??

4x+4=0
x+5=0
donneront bien les solutions à ton problème

x+3=0
donnera la valeur interdite (que tu as dû déjà donner peut-être en début d'exo).

voilà @+

Ah d'accord merci, je comprends maintenant, j'ai réussi tous les exercices avec des questions plus complexes alors que celle-ci, j'ai bloqué alors qu'elle était toute simple!

Merci beaucoup de votre aide!