fonction tangente

Bonjour mon exercice consiste à étudier la fonction tangente sur ]-π/2 ,π/2[
déterminer les limites
les variations
asymptote

alors j'ai fait

la fonction tangente est un quotien de deux fonctions derivable sur ]-π/2 ,π/2[, cos s'annule si x = p/2 ou - pi/2 donc tan est derivable sur ]-π/2 ,π/2[

tan ' (x)= 1/ cos ² x

comme cos ²x est toujours positif puique c'est un carrée alors tan' x est positif et tan x est croissant sur ]-π/2 ,π/2[

lim (x tend vers -pi/2 +) cos x= 0+ et lim (x tend vers -pi/2 +)sin x= -1 donc lim (x tend vers -pi/2 +) tan x = - infini

lim (x tend vers -pi/2 -) cos x= 0- et lim (x tend vers -pi/2 +)sin x= -1 donc lim (x tend vers -pi/2 -) tan x = + infini

lim (x tend vers pi/2 +) cos x= 0- et lim (x tend vers pi/2 -)sin x= 1 donc lim (x tend vers pi/2 +) tan x = - infini

lim (x tend vers pi/2 -) cos x= 0+ et lim (x tend vers pi/2 -)sin x= 1 donc lim (x tend vers pi/2 -) tan x = + infini

donc tanx admet une asymptote verticale en pi/2 et -pi/2

je voudrez savoir si c'est bon est est ce que ma redaction est bonne je parle surtt pour montrer que tan x est derivable sur ]-π/2 ,π/2[

Il n'est pas vraiment utile de dire où cosinus s'annule mais plutôt de dire qu'elle ne s'annule jamais sur ]-π/2; π/2[. Tu cherches à montrer que ta fonction est dérivable sur un intervalle, pourquoi devrais tu montrer qu'elle ne l'est pas sur le reste de ℜ ?
De plus si tu ne précises pas la définition de la fonction tangente, parler de la fonction cosinus arrive comme un cheveux sur la soupe. Il vaut mieux plutôt appuyer sur sa qualité de dénominateur.
Par exemple "La fonction tangente est définie comme quotient de fonctions (trigonométriques) dérivables sur ]-π/2 ,π/2[ et dont le dénominateur ne s'annule jamais sur ]-π/2 ,π/2[. Donc tangente est dérivable sur ]-π/2 ,π/2[ avec pour tout x∈]-π/2 ,π/2[..."

Il ne faut pas avoir peur de se répéter. Quand je justifie une dérivabilité j'écris en générale 4 ou 5 fois l'intervalle (à chaque fois dans un but différent).
Définir le x comme appartenant à l'intervalle n'est pas un luxe. tan'(x) = 1/cos²(x) n'est pas vrai sur ℜ tout entier et c'est encore moins vrai sur x considéré en tant que lettre (bah oui, ça n'a aucun sens de prendre le cosinus de la lettre x).

Pour la suite précise encore l'intervalle. Cos²(x) ≥ 0 sur ℜ mais cos²(x) > 0 sur ]-π/2 ,π/2[ et tu as besoin de l'inégalité stricte si tu veux parler de son inverse.
Tu ne peux pas dire tan'(x) est positif et tan(x) est croissant. Il faut un donc, si tu mets un "et" c'est que les deux sont des hypothèses. Et il faut encore préciser l'intervalle les deux fois.

Enfin, tan(x) n'admet pas d'asymptote. Tan(x) est une quantité. Aucun nombre n'admet d'asymptote. La courbe représentative de tan admet des asymptotes (une asymptote est une droite).

Voila pour la correction de la rédaction. J'ai pas lésiné sur la rigueur, mais il vaut mieux en faire trop que pas assez

Définir le x comme appartenant à l'intervalle n'est pas un luxe. tan'(x) = 1/cos²(x) n'est pas vrai sur ℜ tout entier et c'est encore moins vrai sur x considéré en tant que lettre (bah oui, ça n'a aucun sens de prendre le cosinus de la lettre x).

Pour la suite précise encore l'intervalle. Cos²(x) ≥ 0 sur ℜ mais cos²(x) > 0 sur ]-π/2 ,π/2[ et tu as besoin de l'inégalité stricte si tu veux parler de son inverse.

jcomprend pa tro comment on peu montrer que 1/cos² x est superieur a 0 car si on inverse on inverse le sens et tu di que l'on ne met pas x alors on met quoi si c pas x??????

Je crois que tu confond inverse et opposé. Quand je dis inverse c'est x→1/x. Il faut se méfier de cette fonction. Elle est traitresse. Elle est strictement décroissante sur ℜ- et strictement décroissante sur ℜ+ mais surtout pas sur ℜ tout entier.
Dans tout les cas si un nombre est strictement positif, alors son inverse est strictement positif (mais tu as absolument besoin de la stricte positivité pour pouvoir dire ça, 0 n'a pas d'inverse).
Cos²(x) est un nombre strictement positive sur ]-π/2; π/2[ donc son inverse existe et est strictement positif.

Je ne dis pas qu'on ne met pas x. Mais je dis que si tu mets x, tu dois le définir comme appartenant à tel ou tel intervalle. Sinon x n'est qu'une lettre qui ne signifie rien.