méthode d'euler (pour l'ED f'(x)=f(x) et f(0) =1)

Exercice1:

On considère le problème suivant: quelles sont les fonctions f dérivable sur R telles que f'(x)=f(x) pour tout réel x et telles que f(o) =1?
On va supposer qu'une telle fonction existe et on va chercher a en construire une courbe représentative approchée en utilisant la méthode d'Euler et en déterminer quelques propriétés.

PARTIE A:

On va construire des courbes approchées d'une telle fonction f. Pour cela on va utiliser la methode d'euler, qui consiste à utiliser l'approximation suivante:
f(x)a peu pres= f(a) + f '(a)(x-a)

On découpe l'intervalle [0;1] en n intervalles de meme longueur 1/n (n étant un entier naturel non nul).
On note to=0; t1=1/n ,..., tk = k/n, tn=1 les bornes des différents intervalles obtenus classées par ordre croissant. On note yo;y1;...;yn les valeur approchées de f(to), f(t1)...,f(tn) obtenues à l'aide de la methode d'euler.

Comme f(0)=1, on pose yo = 1
Montrer que f(t1) a peu pres = 1+ 1/n. On prend donc y1 = 1+ 1/n.
On considére que f(t1)= 1+ 1/n ( on utilise l'approximation de la fonction f), montrer que
y2 = (1+ 1/n)²
Montrer par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
yk= (1+ 1/n)^k
Dans un repere orthonormée d'unité 10cm. Construire les courbes approchants f sur [0,1] pour n=5, n=10 et n=20

PARTIE 2:

Soit f une fonction vérifiant les conditions énoncées au début du probléme. On va montrer quelques propriétés de cette fonction.

On définit la fonction g sur R par: g(x)= f(x)f ' (-x)
a) Montrer que g est dérivable sur R et calculer sa dérivée
b) Que peut -on en déduire? Calculer g(0) et en déduire l'expressionde g(x) en fonction de x.
c)Montrer que f ne s'annule pas sur R.
Soit a un réel. On définit à présent la fonction h sur R par:

h(x)= ( f(a+x) ) / f(x)
a) Montrer que h est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer h(o) et en déduire l'expression de h.
c) Montrer alors que pour tous réels a et x, on a :
f(a+x)=f(a)f(x)
Quel objet mathématique posséede la meme propriété?

Alors Voici mes reponces à vérifier

PARTIE 1

f(t1)= f(0+t1) a peu pres = f(0)+ f '(0) * t1 a peu pres = f(0)+ f '(0) * (1/n)

or on suppose que f '(x) = f(x) donc f ' (0)= f(0)=1

donc f(t1) a peu pres = 1+1 * (1/n) a peu pres = 1+ 1/n

donc on prendra y1 = 1+ 1/n

f(t2)=f(t1 + (1/n)) a peu pres = f(t1) + f '(t1)* (1/n) a peu pres = 1 + 1/n + (1+ 1/n)*(1/n)
a peu pres = 1 + 1/n + 1/n + 1/n² a peu pres = 1 + 2/n + 1/n² a peu pres = ( 1+ 1/n)²
donc y2 = ( 1+ 1/n)²
Montrons par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n yk= (1+ 1/n)^k

Montrons que Po est vraie:
y0= 1 et (1+ 1/n)^0 =1
donc Po est vraie

Montrons que (Pn) est vraie, soit m un entier k compris entre 0 et n, et supposons Pm vraie c'est à dire ym= (1+ 1/n)^m. Montrons que P (m+1) est vraie c'est à dire y(m+1)= (1+ 1/n)^(m+1)

la je suis bloquer

sa je c pas comment faire

PARTIE 2

Alors la je sais pas du tout comment démarrer merci d'avance de m'aider

en faite j'ai tout trouver ds la partie 1 Par contre pouvez vous m'aidez pour la partie 2??
svp

aidez moi svp pour la partie 2

ouu vraiment personne peut m'aider pour la partie 2?

qques minutes svp...

j'ai pas l'esprit assez clair ce soir..je me replongerais là dessus demain

c bon j'ai tout trouver merci kan mm

j'ai le même problème mais je ne vois pas comment :

Dans la partie A

Montrer par récurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
yk= (1+ 1/n)^k
mon problème est pour monter l'hérédité de la propriété Pk : yk=(1+1/n)^k

Dans la partie B :
calculer la dérivé de
h(x)= ( f(a+x) ) / f(x) je sais qu'il faut trouvé h'(x) = h(x)= f(a+x)/f(x) mais j'arrive à 0 !

Aidez moi s'il vous plait !
merci d'avance ...

s'il vous plait j'ai besoin d'aide

j'ai besoin d'aide rapidement s'il vous plait ...

j'ai repris ce topic car ça évite de surchargé le forum mais aidez mi s'il vous plait

di tu es en quelle classe et quelle region? departement? sa ce trouve on ce connait repond moi sinon tora pa la suite

Pour la partie 1 tu utilise la formule de l'ennoncé

calculer la dérivé de
h(x)= ( f(a+x) ) / f(x) je sais qu'il faut trouvé h'(x) = h(x)= f(a+x)/f(x) mais j'arrive à 0 !

c'est normal si t'arrive a 0 c'est ce qui faut trouver a toi de savoir ce que signifie si h'(x)=0 alors h(x) est ...

c'est bon pour la partie B

tu peux m'aider pour la récurrence ?

je suis en terminal s à nancy (54) p-e que les prof on le mm livre de sujet ou jc pa en tt cas si tu es de nancy on est les meilleur

Ah et bien je suis étonné je ne pensais pas qu'il pouvait y avoir une telle coïncidence, je ne suis pas de Nancy ! mais du 89