Petites questions pour un DM de Maths (Suites et Fonctions)

Bonjour à tous !

Je suis en Terminale S (logique si je poste ici^^) et j'ai un peu de mal avec mon 3ème DM de Maths avec des questions non résolues sur plusieurs exercices.

Premier exercice :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x²/4 + 2 .
Montrer que pour tout x de R : f(x) supérieure ou égale à x+1*

Donc ici je bloque je suppose qu'il faut simplifier l'expression de f(x) pour arriver au final à l'inégalité mais je vois rien à factoriser ...

2. a) Prouver que, pour tout n de N, Un+1 - Un supérieur ou égale à 1.

Ca j'ai réussi avec la relation de récurrence.

b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).

Ca aussi facile une fois que la a) est démontrée on trouve la suite croissante.

c) Montrer que, pour tout n de N, Un - U(0) supérieur ou égal à n.

Là j'ai vraiment pas d'idées ...

d) En déduire le comportement de la suite (Un) en + l'infini.

Je vois pas non plus mais là faut la réponse du dessus.

Deuxième exercice :

*On considère la fonction f définie pour tout x de R(1) par : f(x) = - x + 3 + 9/1-x
On note Cf sa représentation graphique.

Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.*

J'ai trouvé les 4 limites sans soucis.

2.Démontrer que la droite d'équation y = x + 3 est une asymptote oblique à la courbe Cf en + et - l'infini

Je suis dans le vague complet qu'est-ce qu'une asymptote oblique et comment démontrer une telle chose !?

3. Déterminer la fonction dérivée de f.

J'arrive à -1 -9/(1-x)² mais j'aimerai bien confirmation car je suis pas sur de moi à 100% ...

4. Etudier le sens de variation de f puis construire son tableau de variation.

Pas de souci si ma dérivée est bonne.

5. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0.

Aucune idée

Troisième exercice :

On considère la suite (Un) définie par : U(1) = 3/2 et Un+1 = 1/2 * (Un + 2/Un) pour tout n de N*

1. Démontrer que pour tout n de N , Un supérieur à 0*

J'ai réussi avec la méthode de la récurrence.

2. Démontrer que pour tout n de N, Un+1 - √(2) = 1/2 * (Un - √(2))² / Un
En déduire que pour tout n de N* , Un ≥ √(2)*

J'ai pas trouvé de méthode pour réussir à trouver ce résultat et donc la déduction.

3. Etudier le sens de variation de la suite (Un). En déduire qu'elle est convergente.

J'ai réussi à montrer qu'elle était croissante mais je comprends pas comment prouver qu'elle est convergente il faudrait qu'elle est un majorant plutot qu'un minorant non ?

4. Montrer que pour tout n de N , Un+1 - √(2) = 1/2 (Un - √(2) + 1/Un - 1/√(2)*

Je suppose qu'en développant l'expression de la question 2 on peut y arriver.

5. En déduire que pour tout n de N , Un - √(2) < 1/ 2 à la puissance n*

Démonstration par récurrence je suppose.

6. Déterminer alors la limite de la suite (Un).

Je m'y pencherai après avoir répondu au reste.

Voilà ça fait un peu de lecture j'espère que des gens sympas et dispos pourront m'aider merci d'avance !

Je poserai g(x)=x+1, ensuite f(x)>=g(x) <=> f(x)-g(x)>=0
f(x)-g(x)=1/4*(x-2)² qui est tjrs positf donc ça marche.