[2nde] Exercice rationnels

Bonjour tout le monde
J'ai un exercice sur lequel j'ai des problemes :

Vérifier que : ( √ 5/2 - √ 2/5 )² et que ( √3/4 + √4/3)² sont des rationnels.

Ici, j'ai débord fait :
= 5/2 - 2/5
= 25/10 - 4/10
= 21 / 10
= 2.1

et

= 3/4 + 4/3
= 9/12 + 16/12
= 25 / 12

Or, 2.1 et 25/12 sont des nombres rationnels.
C'est juste ???

Plus généralement, si a est un rationnel positif non nul, montrer que ( racine carrée de a + racine carrée de 1/a ) ² et ( racine carrée de a - racine carrée de 1/a )² sont des rationnels.

Ici j'ai d'abord fait
= a + 1/a
= a/1 + 1/a

Et là je n'arrive pas à aller plus loin pour prouver que c'est rationnel !!

Ensuite j'ai fait :

= a - 1/a
= a/1 - 1/a

Et pareil je n'arrive pas à prouver que c'est rationnel.

Pourvez vous m'aider pour la question 2. et me corriger pour la 1. ? SVP.
Merci d'avance

Bonjour,je suis dans le même probleme j'ai un DM de mathématiques et je n'arrive pas a prouver comment (√a+√1/a)² et (√a-√1/a)² sont rationnels et ce DM est à rendre pour bientôt! :frowning2:

En revanche 2.1 et 2.08 sont des nombres ratinnels.

diddlmania a écrit pas mal d'âneries.

pour ce qui est de la rationalité de (√a+√1/a)² et (√a-√1/a)², voici comment effectuer les calculs, avec une identité remarquable bien connue

$\left(\sqrt a + \sqrt{\frac{1}{a}\right)^2 = (\sqrt a)^2 + \left(\sqrt{\frac{1}{a}\right)^2 + 2 \sqrt a \times \sqrt{\frac{1}{a}}=a + \frac1a + 2.$

on utilise la propriété de la racine carrée vis-à-vis du carré et la propriété de la racine carrée vis-à-vis du quotient. et on n'oublie pas de remarquer que a + 1/a + 2 est bien un nombre rationnel, car = (a²+2a+1/a).