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Term ES spécialité exercice sur les suites |
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Envoyé: 02.10.2008, 17:26
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enregistré depuis: oct. 2008
Messages: 1
Status: hors ligne
dernière visite: 02.10.08
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Bonjour,
J'ai besoin d'aide ou de correction pour mes premières réponse de l'exercice suivant s'il-vous-plait. Merci d'avance
Dans une zone de marais on s'intéresse à la population de libellules.
On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation:
(R) Pour tout entier naturel n, on a :
Pn+2 - Pn+1 = 1/2 (Pn+1 -Pn)
On suppose que P0 = 40 000 et P1 =60 000.
On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence Pn - Pn-1
1. Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année et la troisième année, puis en déduire P2 et P3.
2. On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par:
Un = Pn+1 - Pn et Vn = Pn+1 - 1/2 Pn
a) Prouver que la suite (Un) est géométrique. Présiser son premier terme. Exprimer Un en fonction de n.
b) En utilisant la relation (R), calculer Vn+1 - Vn
En déduire que, pour tout n, on a Vn = P1 - 1/2 P0.
Calculer Vn.
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a Pn = 2(Vn - Un).
En déduire une expression de Pn en fonction de n.
d) Montrer que la suite (Pn) converge et calculer sa limite.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?
Voici mes premières réponses à cet exercice:
1. j'ai trouvé P1 = 20 000
P2 = 10 000
et P3 = 5 000
2. a) je dois calculer un+1 c'est ça?
donc je trouve 1/2 (Pn+1 - Pn)
ainsi le premier terme est Pn+1 - Pn
et sa raison est 1/2
Après pour exprimer Un en fonction de n je dois utiliser la formule explicite qui est u0 fois qn
et je trouve un = (Pn+1 - Pn) fois (1/2)n
Ensuite je n'y arrive plus , mais je crois que mes réponses précédentes sont fausses
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Envoyé: 03.10.2008, 00:02
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 6085
Status: hors ligne
dernière visite: 08.01.09
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Bonjour,
Ton énoncé dit : On suppose que P0 = 40 000 et P1 =60 000.
Comment arrives tu à P1 = 20 000 ??? P1 n'est pas à calculer , c'est une donnée !
Pn+2 - Pn+1 = 1/2 (Pn+1 - Pn)
donc Pn+2 = Pn+1 + 1/2 (Pn+1 - Pn)
P2 = P0+2 = P0+1 + 1/2 (P0+1 - P0) = P1 + 1/2 (P1 - P0)
en remplaçant P0 par 40 000 et P1 par 60 000 , tu devrais trouver P2
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