Démontrer des propriétés autour de la racine de 2


  • M

    Bonsoir, je voudrais que l'on me corrige cet exercice sur les racines de 2. Je vous mets l'énoncé puis mes réponses :

    ENONCE :
    √2 est un irrationnel.
    Rappelons tout d'abord quelques définitions.
    Un entier naturel n est pair s'il existe un entier naturel p tel que n =2p.
    Un entier naturel n est impaire s'il existe un entier naturel p tel que n = 2p+1.

    Préambule
    n désigne un entier naturel.
    a/ Démontrer que si n est pair alors n² est pair.
    b/ Démontrer que si n est impaire alors n² est impaire.

    Démontrons que √2 est un irrationnel. On utilise pour cela un raisonnement par l'absurde : on supose que √2 est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe des entiers p et q tels que √2 = p/q où p/q est une fraction irréductible et nous verrons que cette proposition conduit à une contradiction.

    1/ Démontrer que p² est pair.
    2/ Déduire du préambule que p est pair.
    3/ On pose alors p = 2p' avec p' entier naturel. Démontrer que q² = 2p'². En déduire que q est pair.
    4/ Déterminer la contradiction entre l'hypothèse et les questions 2 et 3. En déduire que √2 est irrationnel.

    REPONSES :

    a/ Si n est un nombre pair, alors n² est pair car n² = nn = (2p)(2p).
    b/ Si n est un nombre impaire, alors n² est impaire car n² = nn = (2p+1)(2p+1)

    1/2/ En élevant cette expression au carré on obtient 2 = p²/q², par conséquent p² = 2*q²,c'est-à-dire que l'entier p² est un nombre pair. Un carré pair ne peut provenir que d'un entier pair donc p est aussi pair.

    3/ p =2p'
    donc p² = 4p'² or p² = 2q²
    donc 2q² = 4p'² donc q² = 2p'²
    donc q est pair donc il existe un nombre entier q' tel que q = 2q'

    4/ La fraction p/q = 2p'/2q' n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était √2 est un rationnel. Donc √2 est irrationnel.

    Merci d'avance pour votre correction.


  • Zorro

    Bonjour,

    Il me semble que cela reprend les termes de la fiche que j'ai faite et que tu peux trouver dans la page d'accueil : Le nombre √2 est un irrationnel


  • M

    Bonjour,
    Oui je me suis aidé de votre fiche de cours et sur le cours de Maxi cour ou je suis inscris.


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