Montrer qu'une suite est bornée en étudiant la fonction associée


  • I

    Bonjour,

    Enoncé:

    On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel par :
    u0=2u_0 = 2u0=2

    un+1=6unun+2u_{n+1} = \frac{6 u_n}{u_n + 2}un+1=un+26un

    1. Montrer que pour tout n, on a : $u_n > 0$.

    Par récurrence, c’est OK

    2- a) Soit f fonction définie sur [0;+∞[[ 0 ; {+} \infty [[0;+[ par :

    f(x)=6x(x+2)f(x) = \frac{6 x}{(x + 2)}f(x)=(x+2)6x

    Montrer que f est strictement croissante sur [0;+∞[[ 0 ; {+} \infty [[0;+[

    La aussi, c’est OK
    $f'(x) = \frac{12}{(x + 2)^2} >0$
    donc f strictement croissante

    b) en déduire que pour tout entier n, on a :

    UnU_nUn < 4

    C’est sur cette question que je sèche car il faut le déduire de la stricte monotonie de f

    Solutions envisagées :

    • Tracer la courbe Cf, puis la droite y = x et montrer que Un converge vers 4 avec le point d’intersection A(4 ;4)

    • Utiliser ce théorème : . . . si (Un) converge vers un réel l appartenant à I inclus dans R+R^+R+ alors l est la solution de f(x) = x
      Mais là, ça se mord la queue puisqu’il faudrait d’abord montrer que (Un) converge !

    • lim⁡x→+∞f(x)=6\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = {6}limx+f(x)=6

    Peut-on utiliser cette limite pour cette question ? Je doute que ce soit utile.

    • Essayer de le montrer par récurrence mais dans ce cas, ce n’est pas ‘ déduire ‘ !

    Aucune de ces solutions ne semble adaptée . . .

    Le reste de l’exo est OK également : variation de (Un), une autre suite (Vn) en fonction de (Un) qui est géométrique, que l’on définit en fonction de n, puis (Un) en fonction de n et enfin, on peut alors montrer que (Un) converge vers 4.

    Seul le point 2)b) me pose problème.

    Je vous remercie pour votre aide.

    Ps : pourquoi, on ne peut pas écrire Un<4 en Latex ? Un>4 ça marche, mais '<' perturbe le message


  • Zauctore

    salut

    en déduire, peut-être par récurrence ?

    si u_n < 4 alors f(u_n) < f(4) or f(4) = ... ?

    au vu de la simplicité de l'argument, c'est bien "en déduire" !


  • I

    Bonjour,

    Très bien, j’adopte la récurrence pour déduire. Elle est simple effectivement . . .

    Si Un < 4 alors f(Un) < f(4) car f strictement croissante, conserve l’ordre

    or f(4) = 4

    Par conséquent f(Un) < 4 or f(Un) = Un+1

    Donc Un+1 < 4

    Merci beaucoup pour votre aide.


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