Conjecturer et démontrer l'expression d'une suite


  • S

    Re-bonjour.

    **On considère la suite U définie par récurrence par U0U_0U0=1 et UUU_{n+1}=Un=U_n=Un + 2n + 3

    1.Etudier la monotonie de U
    2.a.Montrer par récurrence que UnU_nUn > n²
    b.En déduire, sans démonstration, la limite de U
    3.a.Calculer les premières valeurs de U et conjecturer son expression.
    b.Démontrer ma conjecture établie à l'aide d'un raisonnement par récurrence.**

    Alors la question 3 est faite.
    La question 1, j'ai trouvé que U est croissante sur ]-∞;5[
    et décroissante sur ]5;+∞[. J'suis pas sûre du résultat.
    Par contre la question 2a je sais pas la faire, donc si j'pouvais avoir un peu d'aide s'il vous plaît.

    Merci d'avance.


  • Zauctore

    re-salut

    ta réponse à la q1 est drôle : c'est une suite, la variable est entière positive, et... tu ne peux pas dériver : il faut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_nun+1un

    pour la q2a, tu procèdes comme dans le cours pour la récurrence : tu fondes la récurrence en vérifiant que ce qu'on te dit est vrai pour les premiers termes de la suite (calcul)

    puis, tu fais la supposition que ce qu'on te dit est vrai au rang n : $u_n > n^2$ et tu dois montrer que c'est encore vrai au rang n+1, c'est-à-dire que sous cette hypothèse, tu as bien $u_{n+1} > (n+1)^2$

    il suffit de vérifier que $u_n + 2n + 3 > (n+1)^2$ sachant que $u_n > n^2$


  • S

    Merci. 😁


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