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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

nombres complexes: factoriser un polynome

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 23.09.2005, 19:28

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zmounie

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bonjour à tous,
besoin d'aide!!! je panique...ça commence...
sujet:
Le polynome P est défini sur C par:
P( z) = z^3 - 4z^2 + z - 4
a) Factorisez P (z) en un produit de trois polynomes du 1er degré à coéfficients complexes
b) résoudre alors dans C l'équation:
(z / z+1)^3 - 4(z / z+1)^2 + (z / z+1) - 4 =0

j'ai essayé de remplacer z par x+iy; je n'obtiens pas grand chose. en fait je ne sais pas ce que je dois chercher.
merci d'avance
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Envoyé: 23.09.2005, 19:44

Cosmos
flight

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dernière visite: 21.11.10
il existe une racine evisente dans C qui est i

si bien que p(z)=(z-i)(z²+(-4+i)z-4i)

il faut à present trouver une racine evidente pour z²+(-4+i)z-4i

alors -i est racine evidente de z²+(-4+i)z-4i

donc pareil ;une division euclidienne de z²+(-4+i)z-4i par (z-(-i)) premettra d'esprimer p(z) sous forme de trois polynome du premier degré.

essaies de la faire et n'hesites pas à demander si tu coinces


flight721
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Envoyé: 23.09.2005, 19:48

Cosmos
flight

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dernière visite: 21.11.10
je te laisse la réponse finale du a) pour que tu puisse te controler

p(z)=(z-i)(z+i)(z-4)


flight721
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Envoyé: 23.09.2005, 20:24

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zmounie

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pour moi, c'est pas "évident" que i soit une racine vu qu'il ne peut pas être un chiffre, ça ne peut pas être égal à 0. comment vois-tu cela?
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Envoyé: 23.09.2005, 20:41

Cosmos
flight

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dernière visite: 21.11.10
tu est dans le corps des complexes , alors z peut ne pourra etre que de la forme a+ib




flight721
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Envoyé: 23.09.2005, 20:43

Cosmos
flight

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dernière visite: 21.11.10
je vois en plus que tu te melange les pinceaux serieusment avec les complexes ! i n'est pas un chiffre mais un nombre complexe


flight721
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Envoyé: 23.09.2005, 20:49

Cosmos
flight

enregistré depuis: févr.. 2005
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dernière visite: 21.11.10
et pour resoudre la dernière équation n'oublie pas de faire un chgt de variable en posant z/(z+1)=u

ce qui te ramenera à u - 4u² + u - 4 =0 u appartenant à Z

et comme tu as le devellopement en trois polynomes du 1 ier degré
alors tu peut simplifier p(u) et trouver les solutions rapidment
et ensuite revenir au chgt de variable complexe pour résoudre cette dernière équation.


flight721
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Envoyé: 23.09.2005, 21:25

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zmounie

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dernière visite: 01.11.05
désolé de t'ennuyer encore mais je ne comprend pas comment on sait que c'est i la racine évidente comment on le trouve et comment on le prouve merci pour le reste et merci d'avance pour la suite
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Envoyé: 24.09.2005, 11:23

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Bonjour zmounie.
J'interviens parce que je devine ton problème.
Oublie temporaitrement les nombres complexes.
Le polynôme que tu affrontes est
P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 4.
Une racine évidente (entière) est à chercher parmi les diviseurs entiers du terme constant 4.
(c'est la 10e fois que je l'écris au moins !)
Les possibilités à tester sont 1, 2 ou 4, ainsi que -1, -2 ou -4.
Tu vérifies en calculant que P(4) = 0.
Donc tu peux factoriser ton polynôme par (x - 4).
Il s'écrit donc
P(x) = (x - 4) (x^2 + px + q).
A toi d'identifier les coefficients p et q.
Bon allez : P(z) = (z - 4)(z^2 + 1).
(peu importe la variable, x ou z)
Puis il faudra factoriser ce polynôme.
Les racines en sont évidemment i et -i.
Tu peux aussi voir que i est une racine dans le corps de nombres complexes, comme te le disait flight.
En effet, tu peux aussi calculer P(i) = i^3 - 4i^2 + i - 4 = ... = 0.
Tu voiss aussi que (-i) est la dernière racine.
A +
Top 
Envoyé: 25.09.2005, 18:30

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zmounie

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 14

Status: hors ligne
dernière visite: 01.11.05
Super! merci!
J'ai enfin compris! En fait, je me mélangeais bien les pinceaux!
excuse-moi si tu dois répéter les choses, mais je suis toute neuve sur ce forum...
D'ailleurs, j'aimerai bien savoir:
1°) comment je fais pour retrouver " ma discussion" quand je reviens sur le forum.(j'ai un peu galéré et suis allée sur les derniers messages que j'ai tous lus pour trouver le mien...)
2°)Lorsque tout est fini( et bien fini), dois-je cliquer sur " se désinscrire de la discussion" ?
encore merci booooocoup.
Top 
Envoyé: 25.09.2005, 19:38

Cosmos


enregistré depuis: juin. 2005
Messages: 350

Status: hors ligne
dernière visite: 29.04.07
non en touche à rien et pour savoir tu retiens le sujet de ton exercice!
voilà
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