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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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problème de divisibilité

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 20.09.2005, 21:00

couettecouette

enregistré depuis: sept.. 2005
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dernière visite: 21.09.05
comment résoudre ce pb??

démontrer que le nombre n=ab(a^2 -b^2 ) est divible par 3,quels que soient les entiers relatifs a et b.

modifié par : Thierry, 16 Oct 2008 - 15:59
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Envoyé: 20.09.2005, 21:39

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Je viens d'y réfléchir en mangeant...

En fait il faut se convaincre d'un fait numérique.
Prenons deux nombres a et b non multiples de 3 (sinon, le produit n sera trivialement multiple de 3). Par ex 23 et 5. Alors 23-5=18 est dans la table de 3, alors que 23+5=28 n'y est pas. Autre ex : avec 19 et 11. Alors, 19-11 n'est pas multiple de 3, tandis que 11+19 = 30 est dans la table de 3. Autrement dit, il semble que l'un des quatre nombres a, b, a+b ou a-b soit nécessairement multiple de 3, et donc n aussi.

Comment prouver cette conjecture ?
Par exemple avec les restes de a et b dans la division par 3. Ce sont 1 ou 2, puisque ni a ni b ne doivent être multiples de 3.
Fais une étude des différents cas de figure pour démontrer que l'on a l'alternative :
- ou bien le reste de a+b est 0,
- ou bien le reste de a-b est 0
dans la division par 3.

Salut.
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Envoyé: 20.09.2005, 21:40

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
J'oubliais :
il faut auparavant se rendre compte que n est en fait égal à a*b*(a-b)*(a+b).
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