produit scalaire et barycentre

bonjour,
Voilà j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine. Mais j'ai un problème pour cet exercice. Je bloque déjà pour la première question. Voici l'exercice :
On considère dans l'espace un rectangle ABCD de centre I.

Démontrer que D est le barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}
Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :

ll MA + MC ll = 2 ll MA - MB +MC ll (ce sont tous des vecteurs)

Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :

MA² - MB² + MC² = BD²

Merci de bien vouloir m'aider.

Salut,

ABCD est un parallélogramme donc DB $→^\rightarrow$ = DA $→^\rightarrow$ + DC $→^\rightarrow$ ... je te laisse parvenir à la relation vectorielle permettant de dire que D est barycentre (cf la définition du barycentre).

Il faut réduire les vecteur entre doubles barres.

J'appelle J le milieu de [AC] alors MA $→^\rightarrow$ +MC $→^\rightarrow$ =2MJ $→^\rightarrow$
Pour MA $→^\rightarrow$ - MB $→^\rightarrow$ + MC $→^\rightarrow$ je te laisse utiliser la proprieté du barycentre pour exprimer ce vecteur en fonction de MD $→^\rightarrow$ ...

Tu arrives à quelque chose ?

AD = BC
AD = BD + DC
AD-BD-DC=0
-DA DC=0
DA-DB+DC=0
donc D est bien barycentre de (A,1) ;(B,-1);(C,1)
j'ai trouvé que l'ensemble F était la médiatrice de [ID]
MD²= 2BD² -DA² -DC²

Donc soit P= 2BD² -DA² -DC²
Si P<0 alors l'ensemble E est l'ensemble vide
Si P=0 alors l'ensemble est le point E
Si P>0 l'ensemble est le cercle de centre D et de rayon racine de P

Est- ce bon?

Oui c'est bon.
Dans l'espace il ne s'agit pas de médiatrice mais de plan médiateur. A part ça ta réponse est bonne.
Non. Si tu introduis le point D par la relation de Chasles dans les carrés, il faut utiliser un identité remarquable.
(u $→^\rightarrow$ +v $→^\rightarrow$ )²=u $→^\rightarrow$ ²+2u $→^\rightarrow$ v $→^\rightarrow$ +v $→^\rightarrow$ ² ≠ u $→^\rightarrow$ ²+v $→^\rightarrow$ ²