encadrer une intégrale (fonction logarithme, suite)

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	encadrer une intégrale (fonction logarithme, suite)

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camdu62	Envoyé: 10.03.2008, 17:50
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 12 Status: hors ligne dernière visite: 12.03.08	Bonjour à tous ! Voilà j'ai un DM à faire pour vendredi et je coince et ce dès la première question !! Donc je vous poste l'énoncé et après je vous dis ce que j'ai essayer de faire. Soit f la fonction définie sur ]0; + l'inf[ par : f(x)=1/4x² -1/4 -1/2lnx 1.a Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. b.Tracer la courbe représentative(c) de f dans un plan(O;i;j) 2.a On note a un reel λ>0 A l'aide d'une intégration par parties, calculer somme de λ à 1de lnx dx En déduire la valeure de I(λ) = somme de λ à 1 f(x)dx b. Déterminer la limite de I(λ) quand λ tend vers 0+ 3. Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2, on pose : Sn =1/n ∑ f(p/n). Remarque : au dessus de Σ il y a n et en dessous p = 1 a . Démontrer que, pour tout entier naturel p tel que : 1≤ p ≤ n-1, on a : 1/n f((p+1)/n) ≤ ∫ de p/n à (p+1)/n f(x) dx ≤ 1/n f(p/n) b. En déduire que : Sn - 1/n f(1/n) ≤ I(1/n) ≤ Sn puis que I(1/n) ≤ Sn ≤ I(1/n) + 1/n f(1/n). c. En déduire que : lim (quand n tend ver +l'inf) Sn =1/3 ( On rappelle que lim (quand x tend vers 0) xlnx = 0 ) Alors pour la 1.a on me dit d'étudier les variation de f donc logiquement je dérive. Or f est dérivable en tant que somme de fonction dérivables d'où je trouve : f'(x) = (1/2)x -(1/2)(1/x) = (1/2)x -(1/2x) = (x²-1)/2x Les variations sont pas simples à étudier donc je re-dérive : f''(x) = (uv)' = u'v-uv' / v² = (2x²+2)/4x² = (x²+1) / 2x² f"'(x) = (uv)' = u'v-uv' / v² = -4x / 4x^4 = -1/x^3 Pour moi la fonction inverse est décroissante sur ]0; + l'inf[ donc -1/x croissante donc f"'(x) croissante donc f"(x) positive donc f'(x) croissante donc f(x) postive mais ça va pas vu qu'on veux les VARIATIONS donc je suis pas très avancée pour cette question!!! 1.b.* j'ai réussie! 2a. réussie mais le reste j'y arrive pas Alors si quelqu'un pourrait avoir la gentillesse de m'aider... Merci d'avance En Tle S mais pas très matheuse


vaccin	Envoyé: 11.03.2008, 08:54
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2007 Messages: 153 Status: hors ligne dernière visite: 01.05.08	bonjour 1) la dérivée est bonne. sur ]0,+inf [ son signe est celui de x²-1 . cherche un peu tu dois y arriver... @+ r.d

camdu62	Envoyé: 11.03.2008, 18:02
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 12 Status: hors ligne dernière visite: 12.03.08	Bon après des heures de réflexion j'ai : - réussi la 1.a. en fait c'était tout simple il faut juste penser au tableau de signe de 2de donc je trouve f décroissante sur [0;1] puis croissante sur 1 +linf - fini la 2.a et 2b alors je trouve I (λ) = 1/12 * (-λ³ +6λlnλ -3λ +4 ) on donc quand λ tend ver 0, 1/12 * 4 ce qui nous fait 1/3 - pour la 3a. jsui en pleine recherche mais c'est dur !!! J'ai essayé de partir de 1≤ p ≤ n-1 pour encadrer 1/n f((p+1)/n) puis pareil pour encadrer 1/n f(p/n) mais bon il n'y a rien qui saute aux yeux ! après j'ai développé de p/n à (p+1)/n f(x) dx mais bon toujours rien ! j'ai développé 1/n f((p+1)/n) et aussi 1/n f(p/n) ! Tout ça pour ... rien pour l'instant ! Quelqu'un aurait -il la gentillesse de m'aider un peu ? Merci d'avance En Tle S mais pas très matheuse

vaccin	Envoyé: 12.03.2008, 08:51
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2007 Messages: 153 Status: hors ligne dernière visite: 01.05.08	salut je pense que cette question est en rapport avec la définition de l'intégrale définie voire de la notion de valeur moyenne mais je ne sais pas ce qui a été fait en cours à ce sujet ... et la première inégalité devrait en faire partie (sauf erreur de ma part). sinon il faut sauter la première partie de la question et passer à la suite. @+ modifié par : vaccin, 12 Mar 2008 - 09:13 r.d

camdu62	Envoyé: 12.03.2008, 17:33
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 12 Status: hors ligne dernière visite: 12.03.08	bonjour vaccin ! Bon pour la question 3.a j'ai demandé à ma professeur et elle m'a dit que ça avait en effet rapport avec le début du chapitre des intégrales quand on encadre des aires par la méthode des rectangles alors donc j'ai essayé mais j'ai vraiment du mal avec ça. Bon déjà on a n≥2 donc la fonction f est strictement croissante sur cette intervalle en plus d'être continue donc je pense qu'on peut admettre : (p+1) / n ≤ x ≤ p/n donc on a bien f(p+1)/n ≤ f(x ) ≤ f(p/n) mais je ne pense pas que je peux mettre directement après ça : 1/n * f(p+1)/n ≤ ∫de (p+1)/n à p/n de f(x) dx ≤ 1/n * f(p/n) Quelle justification puis-je mettre ? et pourriez-vous m'expliquer pourquoi on multiplie par 1/n ? et surtout est-ce que mon raisonnement est correct pour la 3.a.? Merci d'avance ! En Tle S mais pas très matheuse

vaccin	Envoyé: 13.03.2008, 09:07
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2007 Messages: 153 Status: hors ligne dernière visite: 01.05.08	bonjour attention (p+1)/n est plus grand que p/n . mais comme f(x) est décroissante sur (0,1) on a bien f(p+1)/n ≤ f(x ) ≤ f(p/n) par ailleurs 1/n est la largeur d'un des petits rectangles qui a pour aire 1/n *[f(p)-f(p+1)] en faisant les sommes on trouve l'inégalité. ce n'est pas facile à expliquer ici. ce sont les " sommes de Riemann " ... passe plutôt à la suite. bon courage r.d