encadrer une intégrale (fonction logarithme, suite)

Bonjour à tous !
Voilà j'ai un DM à faire pour vendredi et je coince et ce dès la première question !! Donc je vous poste l'énoncé et après je vous dis ce que j'ai essayer de faire.

Soit f la fonction définie sur ]0; + l'inf[ par :

$f(x)=14x2−14−12ln⁡xf(x)=\frac14 x^2 - \frac14 - \frac12 \ln x$
1.a Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

b.Tracer la courbe représentative(c) de f dans un plan(O;i;j)

2.a Soit un reel λ strictement positif

A l'aide d'une intégration par parties, calculer

$i(λ)=∫λ1ln⁡xdxi(\lambda) = \int _{\lambda}^1 \ln x \text{d}x$
b. Déterminer la limite de I(λ) quand λ tend vers 0+

Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2, on pose :

$sn=1n∑p=1nf(pn).s_n = \frac1n \sum_{p = 1}^n f\left(\frac pn\right).$
a . Démontrer que, pour tout entier naturel p tel que 1≤ p ≤ n-1, on a :

$1nf(p+1n)≤∑p/n(p+1)/nf(x)dx≤1nf(p/n)\frac 1n f\left(\frac{p+1}n\right) \leq \sum_{p/n}^{(p+1)/n} f(x) \text{d}x \leq \frac1n f\left(p/n\right)$
b. En déduire que :

$sn−1nf(1n)≤i(1n)≤sns_n - \frac1n f\left(\frac1n\right) \leq i\left(\frac1n\right) \leq s_n$
puis que

$i(1n)≤sn≤i(1n)+1nf(1n).i\left(\frac1n\right) \leq s_n \leq i\left(\frac1n\right) + \frac1n f\left(\frac1n\right).$

c. En déduire que :
$lim⁡n→+∞sn=13\lim_{n \to + \infty} s_n = \frac13$

( On rappelle que lim (quand x tend vers 0) x ln x = 0 )

Alors pour la 1.a on me dit d'étudier les variation de f donc logiquement je dérive. Or f est dérivable en tant que somme de fonction dérivables d'où je trouve :
f'(x) = (1/2)x -(1/2)(1/x) = (1/2)x -(1/2x) = (x²-1)/2x
Les variations sont pas simples à étudier donc je re-dérive :
f''(x) = (uv)' = u'v-uv' / v² = (2x²+2)/4x² = (x²+1) / 2x²
f"'(x) = (u*v)' = u'v-uv' / v² = -4x / 4x^4 = -1/x^3
Pour moi la fonction inverse est décroissante sur ]0; + l'inf[ donc -1/x croissante donc f"'(x) croissante
donc f"(x) positive
donc f'(x) croissante
donc f(x) postive
mais ça va pas vu qu'on veux les VARIATIONS donc je suis pas très avancée pour cette question!!!

1.b. j'ai réussie!

2a. réussie mais le reste j'y arrive pas

Alors si quelqu'un pourrait avoir la gentillesse de m'aider...

Merci d'avance

bonjour

la dérivée est bonne.
sur ]0,+inf [ son signe est celui de x²-1 .
cherche un peu tu dois y arriver...
@+

Bon après des heures de réflexion j'ai :

réussi la 1.a. en fait c'était tout simple il faut juste penser au tableau de signe de 2de donc je trouve f décroissante sur [0;1] puis croissante sur 1 +linf
fini la 2.a et 2b alors je trouve I (λ) = 1/12 * (-λ³ +6λlnλ -3λ +4 )
on donc quand λ tend ver 0, 1/12 * 4 ce qui nous fait 1/3
pour la 3a. jsui en pleine recherche mais c'est dur !!! J'ai essayé de partir de 1≤ p ≤ n-1 pour encadrer 1/n f((p+1)/n) puis pareil pour encadrer 1/n f(p/n) mais bon il n'y a rien qui saute aux yeux ! après j'ai développé de p/n à (p+1)/n f(x) dx mais bon toujours rien ! j'ai développé 1/n f((p+1)/n) et aussi 1/n f(p/n) !
Tout ça pour ... rien pour l'instant ! :frowning2: :frowning2: :frowning2:
Quelqu'un aurait -il la gentillesse de m'aider un peu ?
Merci d'avance

salut
je pense que cette question est en rapport avec la définition de l'intégrale définie voire de la notion de valeur moyenne mais je ne sais pas ce qui a été fait en cours à ce sujet ... et la première inégalité devrait en faire partie (sauf erreur de ma part).
sinon il faut sauter la première partie de la question et passer à la suite.
@+

bonjour vaccin !
Bon pour la question 3.a j'ai demandé à ma professeur et elle m'a dit que ça avait en effet rapport avec le début du chapitre des intégrales quand on encadre des aires par la méthode des rectangles alors donc j'ai essayé mais j'ai vraiment du mal avec ça.
Bon déjà on a n≥2 donc la fonction f est strictement croissante sur cette intervalle en plus d'être continue donc je pense qu'on peut admettre :
(p+1) / n ≤ x ≤ p/n donc on a bien f(p+1)/n ≤ f(x ) ≤ f(p/n)
mais je ne pense pas que je peux mettre directement après ça :
1/n * f(p+1)/n ≤ ∫de (p+1)/n à p/n de f(x) dx ≤ 1/n * f(p/n)
Quelle justification puis-je mettre ? et pourriez-vous m'expliquer pourquoi on multiplie par 1/n ? et surtout est-ce que mon raisonnement est correct pour la 3.a.?
Merci d'avance !

bonjour
attention (p+1)/n est plus grand que p/n .
mais comme f(x) est décroissante sur (0,1) on a bien
f(p+1)/n ≤ f(x ) ≤ f(p/n)
par ailleurs 1/n est la largeur d'un des petits rectangles qui a pour aire
1/n *[f(p)-f(p+1)]
en faisant les sommes on trouve l'inégalité. ce n'est pas facile à expliquer ici.
ce sont les " sommes de Riemann " ...
passe plutôt à la suite.
bon courage

Hey
Moi aussi je suis en Terminale S et j'ai exactement le même DM de maths qui est à faire ..
Je sais bien que du temps a passé depuis , mais je suis tellement désespérée que je tente quand même ma chance: est ce que ce serait possible que tu m'aides pour cet exercice ?
Je veux dire, au niveau de la troisième question ..

Je haie les maths .. :rolling_eyes:

Salut,

2a) Je ne trouve pas comme Camdu62 pour I(λ)

J'aboutis à : I(λ) = λ - 1 - λ lnλ

2b) Sa limite en 0+ est donc -1

3a) Pas facile, faut bien dire . . .

On a :

n ≥ 2

et 1 ≤ p ≤ n-1

On en déduit aussi p < n, donc :

p/n < 1 et

(p+1)/n ≤ 1

Enfin : 0 < p/n < 1 et 0 < (p+1)/n ≤ 1 avec (p+1)/n < p/n

On travaille donc sur l’intervalle ] 0 ; 1 ] sur lequel f est strictement décroissante.

Pour x tel que :

p/n ≤ x ≤ (p+1)/n

f[ p/n ] ≥ f(x) ≥ f[ (p+1)/n ] f décroissante, inverse l’ordre.

F[ (p+1)/n ] ≤ f(x) ≤ f[ p/n ]

L’aire ∫$$_{p/n}$^{(p+1)/n}$ f(x)dx est donc minorée par l’aire du rectangle rouge et majorée par le violet.

Aire rectangle minorant : { (p+1)/n – p/n } . f[ (p+1)/n ] = 1/n . f[ (p+1)/n ]

Aire rectangle majorant : { (p+1)/n – p/n } . f[ p/n ] = 1/n . f[ p/n ]

On a donc bien :

1/n . f[ (p+1)/n ] ≤ ∫$$_{p/n}$^{(p+1)/n}$ f(x)dx ≤ 1/n . f[ p/n ]

Le reste, c’est du gâteau . . . Bon pas vraiment, mais j’ai bac blanc et faut encore que je révise toute l’hist-géo, la philo, la svt, l’anglais, tout . . . Ben ouais, les mecs sont des gros auto-censored et j’échappe pas à la règle :rolling_eyes: .

Bon courage.

slt solen et CQFD!! je viens juste de voir vos messages. Solen est-ce que t'as encore besoin d'aide ou t'as tout compris? sinon ça mdérange pas de t'expliquer les questions où t'arrivent pas.
Voilou @+

Salut,

Sympa de ta part, mais Solen n'est plus dans le coin semble-t-il.

Bah ça révise le bac au lieu d'aller sur le net! tant mieux^^