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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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fonction exponnentielle

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 07.03.2008, 19:55

Constellation
thirf

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bonjour
est ce que vous pouver maider a faire cette ex

soit la fonction g définie sur l'intervalle [0,+∞] par g(x)=x/e^x
1)a) déterminer la limite de g en +∞
b)calculer g'(x) et étudier son signe pour x appartenant à [0,+∞]
c) dresser le tableau de variation de la fonction g
2)en utilisant 1)c) montrer que pour tout x appartenant à [0,+∞] ,g(x) <1

merci

Intervention de Zorro = correction d'une faute d'orthographe dans le titre



modifié par : Zorro, 07 Mar 2008 - 22:02
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Envoyé: 07.03.2008, 20:05

Cosmos
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Bonjour,
On a g(x) = x/ex = xe-x

En posant X = -x alors g(X) = -XeX

Et la limite de g(x) quand x tend vers +∞ est égale à la limite de -XeX quand X tend vers -∞ ( et là tu dois avoir la réponse dans ton cours)

Sachant que g(x) = x/ex = u(x)/v(x) avec

u(x) = x et u'(x) = ....
v(x) = ex et v'(x) = ....

et la formule qui donne la dérivée d'un quotient, tu devrais y arriver.

modifié par : Zorro, 07 Mar 2008 - 20:06
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Envoyé: 07.03.2008, 20:17

Constellation
thirf

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merci
et pour la question 2
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Envoyé: 07.03.2008, 20:19

Cosmos
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Que trouves tu pour le tableau de variations de g ?
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Envoyé: 07.03.2008, 20:26

Constellation
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il est décroissant
je ne suis pas sur
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Envoyé: 07.03.2008, 20:33

Cosmos
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La fonction g n'est pas décroissante sur [0,+∞] !

Que trouves-tu pour g'(x) ?
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Envoyé: 07.03.2008, 20:36

Constellation
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(e^x-xe^x)/(e^x)²
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Envoyé: 07.03.2008, 20:44

Cosmos
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Et en mettant ex en facteur au numérateur, tu devrais pouvoir simplifier, l'expression de g'(x)

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici .
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Envoyé: 07.03.2008, 20:52

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merci
je trouve: ex(1-x) →-
(ex)²→+
donc g'→-
g→decroissant
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Envoyé: 07.03.2008, 20:54

Constellation
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je me suis trompe c'est croissant
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Envoyé: 07.03.2008, 21:06

Cosmos
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Non g'(x) = ex(1 - x) / (ex)2 = [ex (1 - x) ]/ [ex ex] = ... en simplifiant

De plus si x appartient à [0,+∞] , alors 1 - x n'est pas toujours négatif ! (essaye avec x = 1/2 tu verras que tu trouveras un nombre positif)
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Envoyé: 07.03.2008, 21:08

Constellation
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donc g est positif
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Envoyé: 07.03.2008, 21:11

Cosmos
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Non essaye avec x = 2 , tu trouveras un nombre négatif !

Il faut regarder quand 1 - x > 0
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Envoyé: 07.03.2008, 21:14

Constellation
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je ne comprend pas icon_confused
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Envoyé: 07.03.2008, 21:36

Cosmos
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Or ex > 0 pour tout x de [0,+∞]

Il faut donc étudier le signe de 1 - x ; c'est à dire qu'il faut chercher

pour quelles valeurs de x , on a 1 - x > 0

pour quelles valeurs de x , on a 1 - x = 0

pour quelles valeurs de x , on a 1 - x < 0


Et quand tu auras répondu à ces questions , tu connaîtras le signe de g'(x) ; tu pourras donc dresser le tableau de variations de g.

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Envoyé: 07.03.2008, 22:35

Constellation
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on a pour 1-x>0⇒x<1
1-x=0⇒x=1
1-x<0⇒x>1
donc on pour g'(x)→ + -
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Envoyé: 07.03.2008, 23:00

Cosmos
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Voici qui est sommairement résumé mais en effet

g'(x) > 0 pour 0 ≤ x < 1 donc sur [0, 1[ la fonction g est ....

g'(x) = 0 pour x = 1

g'(x) < 0 pour x > 1 donc sur [1,+∞] la fonction g est ....

Donc la fonction g admet un ..... pour x = 1 et ce .... vaut .....
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Envoyé: 07.03.2008, 23:17

Constellation
thirf

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merci
la fonction g est positive
la fonction est negative
donc la fonction g admet un ?

modifié par : thirf, 07 Mar 2008 - 23:26
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Envoyé: 07.03.2008, 23:32

Cosmos
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On étudie le signe de la dérivée pour en déduire le sens de variation (croissance , décroissance, maximum , minimum etc ...) de la fonction

D'après le signe de g'(x) on ne peut pas savoir le signe de g(x).
Top 
Envoyé: 07.03.2008, 23:35

Constellation
thirf

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Donc la fonction g admet un maximum pour x = 1 et ce maximum vaut 0
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Envoyé: 07.03.2008, 23:43

Cosmos
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Tu crois vraiment que g(1) = 0 ? C'est g'(1) qui vaut 0.
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Envoyé: 07.03.2008, 23:48

Constellation
thirf

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je crois que g(1) =1/e
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Envoyé: 07.03.2008, 23:51

Cosmos
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Oui

Et donc tu vois comment tu peux trouver la réponse à la question 2)
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Envoyé: 07.03.2008, 23:57

Constellation
thirf

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non dsl
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Envoyé: 08.03.2008, 14:52

Constellation
thirf

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quelqun peut maider svp icon_frown
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