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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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DM: je bloque

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 18.09.2005, 19:25

Constellation
Misti

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bonjour
voilà l'énoncé de mon DM:
les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo=1 et Vo=12 et pour tout n
U(n+1)=(Un+2Vn)/3 et V(n+1)=(Un+3Vn)/4

*on me demande d'organiser le calcul de Un et Vn jusqu'à n=10 avec la calculatrice.
--->je l'ais fais, je trouve que Un est croissante et majorée par 9 et que Vn est décroissante et minorée par 9...bien sur, tout ceci n'est que des conjectures.


*on me demande de montrer que la suite Un-Vn est géométrique, puis de trouver sa limite.
--->j'ai fait la 1ère partie
je pose Un=(U(n-1)+2V(n-1))/3 et Vn=(U(n-1)+3V(n-1))/4
donc Un-Vn=(U(n-1)-V(n-1))/12=1/12(U(n-1)-V(n-1)) voilà.est-ce que c'est juste? après je ne trouve pas comment faire pour la limite.


merci de m'aider
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Envoyé: 18.09.2005, 21:19

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Zauctore

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Salut.
On dirait que c'est bon . Ta suite Wn = Un-Vn est donc géométrique de raison 1/12. Cette raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc Wn tend vers 0, lorsque n tend vers inf/.
A +
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Envoyé: 18.09.2005, 21:40

Constellation
Misti

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ah ok, merci beaucoup

*la question d'après est: montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes
--->vu que l'on sait que Un-Vn tend vers 0, on peut donc dire qu'elle sont adjacentes car cela veut dire qu'elles tentent toutes les 2 vers la même limites...est ce juste?

*après: montrer que la suite (tn) définie par tn=3Un+8Vn est constante.
--->je l'ais fait: j'ai remplacé Un et Vn par leurs exprésions respectives..je trouve
tn=3U(n-1)+8V(n-1) donc cela veut dire que tn est constante...(est-ce encore juste??)
merci d'avance de votre aide
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Envoyé: 18.09.2005, 21:48

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Zauctore

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suites adjacentes
Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que Un soit toujours supérieur à Vn (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

Pour tn , il faut faire une récurrence pour aboutir à
tn = U0 - V0
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Envoyé: 19.09.2005, 22:44

Constellation
Misti

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Zauctore
suites adjacentes
Ce n'est pas suffisant : il faut aussi qu'elles soient rangées dans un certain ordre, par exemple, que Un soit toujours supérieur à Vn (je ne dis pas que ce soit forcément le cas ici, vois ça seule).

Pour tn , il faut faire une récurrence pour aboutir à
tn = U0 - V0


Pour le rangement , est ce juste ?
Un - Vn =1 / 12 (Un-1 - Vn-1) donc entraine Un - Vn < Un-1 - Vn-1
donc Un - Un-1 < Vn - Vn-1 donc Un < Vn
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Envoyé: 19.09.2005, 22:52

Modérateur
Zauctore

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Salut.
Ce que tu fais ressemble à une récurrence. Mets-la en forme proprement ; ça m'a l'air correct si c'est de confirmation que tu as besoin.
A +
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Envoyé: 20.09.2005, 18:32

Constellation
Misti

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mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que * la différence tendait vers 0
* l'une était croissante
* ET l'autre décroissante






modifié par : Misti, 20 Sept 2005 @ 05:42
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Envoyé: 20.09.2005, 18:40

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Zauctore

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En effet. Il faut par exemple avoir pour tout n
u0 < u1 < ... < un < vn < ... v1 < v0 et le fait que la limite de la différence un - vn soit zéro.
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Envoyé: 20.09.2005, 18:58

Constellation
Misti

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mon professeur de mathématiques a dit aujourd'hui à la classe, que nous ne pouvions pas prouver que (Un) et (Vn) étaient adjacentes en disant que la différence tendait vers 0 et que Un était rangé par rapport à Vn.
ils nous a demandé pour le DM de prouver qu'elles étaient adjacentes en montrant que
* la différence tendait vers 0
* l'une était croissante
* ET l'autre décroissante
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Envoyé: 20.09.2005, 19:20

Cosmos
flight

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il te suffit de determiner Un =f(n) et Vn en fonction de n et tu devrai trouver facilement


flight721
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Envoyé: 20.09.2005, 19:36

Constellation
Misti

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Pour Flight : je vois pas du tout comment faire celà ...
Pour Z, auctore :
je continue à partir de Un - Vn
donc Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0 mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
Alors ?
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Envoyé: 20.09.2005, 19:41

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Zauctore

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Ah ! Je n'avais pas saisi ce que tu voulais.

Tu as montré que (à peu près)
3 un + 8 vn = k, constante.
Combien, d'ailleurs ?
Donc tu peux exprimer un en fonction de vn et récip. Puis remplacer dans l'expression de vn+1 ou de un+1 pour essayer de montrer la monotonie de chacune.
Essaie comme ça, il me semble que ça doit bien servir à quelquechose, la suite tn ..., non ?

A plus tard.
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Envoyé: 20.09.2005, 20:32

Constellation
Misti

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je n'ais pas de problème pour tn.
je veux juste savoir si à la question:montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes, je peux mettre ça:
Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <...... < U2 - V2 < U1 - V1 < U0 - V0
mais encore Un - Vn < Un-1 - Vn-1 <......< - 0.08 < -0.92 < -11
Et là je suis pas sûr de pouvoir conclure si vite mais.... celà implique que Un - Vn est croissante et tend vers 0.... et là c'est sûr Un croissante et Vn décroissante
merci d'avance
Top 
Envoyé: 20.09.2005, 20:36

Cosmos
flight

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quel est ton niveau?



flight721
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Envoyé: 20.09.2005, 20:54

Constellation
Misti

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je suis en terminale SI
Top 
Envoyé: 20.09.2005, 20:55

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Zauctore

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flight : icon_eek. Elle a posté en Term S.

Misti : Ce n'était pas ma question.

Pour montrer que tes suites sont monotones, en suivant l'ordre des questions de ton énoncé, je te propose ceci :

- sauf erreur de ma part, tu as obtenu ce que j'appelle (E) :

un = vn - 11/(12n)

- évalue vn+1 = ... en remplaçant un par l'expression (E)

Ceci te permettra de montrer que vn+1 < vn pour tout n.

Le même genre d'idée pour montrer que (un) est croissante.

Désolé d'avoir passé tant de temps à répondre à côté.
A l'avenir, donne recta la suite de tes questions, entre lesquelles tu mets ce que tu as trouvé.
Top 
Envoyé: 20.09.2005, 21:08

Constellation
Misti

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alors la, désolé je suis complètement paumée...comment avez vous trouvé
un = vn - 11/(12n)????
Top 
Envoyé: 20.09.2005, 21:16

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Zauctore

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Ah, excuse : c'est que tu nous a dit avoir montré que la suite
(un - vn) est géométrique de raison 1/12.
Donc
un - vn =(uo - vo) / (12n)
et il reste à changer de membre, uo et vo étant connus.

C'est ainsi que je trouve (E).

Reprends ça tranquillement.

Ensuite, remplace comme je te l'ai dit à 20 : 55.

Je reviens dans 1/2 h.
Top 
Envoyé: 20.09.2005, 22:28

Cosmos
flight

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dernière visite: 21.11.10
tu dois arriver à Wn+1=Un+1-Vn+1=1/12(Un-Vn)

soit Wn+1=(1/12).Wn

soit Wn=11(1/12)^n. car Uo-Vo=11

avec ceci il est facile de determiner les expression de Un et Vn en substituant ce resultat dans l'une des deux équations de l'enoncé.

puis verifier que Lim (Un-Vn) quand n tand vers l'infini est 0
(verifier au préalable qu'une suite est croissante et l'autre est decroissante)




flight721
Top 
Envoyé: 21.09.2005, 20:28

Constellation
Misti

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j'ai trouvé...je vous remercie beaucoup pour votre aide. icon_smile icon_wink
Top 
Envoyé: 21.09.2005, 21:27

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Félicitations.

Cela a été assez difficile de te donner les informations pertinentes !

Bon courage pour la suite.
Top 

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