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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

construction d'une fractale

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 27.02.2008, 22:09

Constellation
GTO

enregistré depuis: févr.. 2007
Messages: 73

Status: hors ligne
dernière visite: 16.06.10
Bonjour à tous et bonne année à tous (mieux vaux tard que jamais icon_biggrin )
voilà j'ai un problème dont je vous met les dessins géométriques en insertion
Le problème est le suivant:
On note F0 un segment [AB] de longueur a, avec a∈IR+*
On passe de F0 à F1 en divisant le segment en trois segments de même longueur et en construisant sur la partie centrale un triangle équilatéral.
On passe de Fn à Fn+1 en appliquant à chaque côté de Fn le procédé précédent.

modif Thierry : scan contenant du texte et trop grand, non acceptable dans le math-forum, supprimé

On me pose les questions suivantes

I) Etude de nombre kn de côtés de Fn.
a) DOnner k0, k1, k2, et k3
b) Etablir une relation de récurrence entre kn+1 et kn
c) En déduire kn fonction de n

II) Etude de la longueur ln de la courbe Fn.
a) calculer l0, l1, l2, et l3 en fonction de a
b) Justifier que ln= a(4/3)n
c)Vérifier que (4/3)9>10
d)En déduire que l54a106
e)Déterminer un entier m tel que lma10100
f) (ln) converge-t-elle? quelle est sa limite?

III) Etude de l'aire An de la surface comprise entre Fn et le segment [AB]
a)calculer A0, A1 et A2
b)montrer que pour tout n, An+1 = An+(a ² √ 3 / 36 ) x (4/9)n
c) en additionnant membe à membre les égalités obtenues au b), montrer que:
An= [ (a ² √ 3 ) / 20 ] x [ 1 - ( 4 / 9 )n ]
d) vérifier que (4/9)6<10-2
e) peut-on délimiter un entier n à partir duquel | An - ( a ² √ 3 / 20 ) | est inférieur à a²10-100 ?
f)(An) converge-t-elle? quelle est sa limite?

IV)en regardant les résultats des questions II)f) et III)f), que peux-tu dire sur la longueur de la courbe Fn et sur l'aire de la surface comprise entre Fn et le segment [AB]?

V) sur une feuille blanche, tracer les trois premières étapes de construction (F0, F1, et F2) en partant d'un triangle équilatéral de côté 9cm.


l'ennoncé est enfin fini... icon_rolleyes
pour ma part, je n'ai réussi à effectuer que:
I) a) et b)
II) a) b) c) et le d) me parait faux
V)

Toute aide sera la bienvenue pour ce Devoir Maison qui mêle suite et fractale
merci d'avance icon_smile



modifié par : Thierry, 28 Fév 2008 - 13:42
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Envoyé: 28.02.2008, 01:41

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

Status: hors ligne
dernière visite: 09.09.15
Salut GTO,
bonne année à toi aussi même si 2 mois sont déjà passés ...
Peux-tu nous montrer ce que tu as fait jusque-là, ça nous aidera à t'aider plus efficacement.


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 28.02.2008, 10:12

Constellation
GTO

enregistré depuis: févr.. 2007
Messages: 73

Status: hors ligne
dernière visite: 16.06.10
Merci raycage!
Pour le I) a) j'ai trouver k0 = 1; k1 = 4; k2 = 16; et k3 = 64
pour le b) je pense que la relation de récurrence est : kn+1 = kn x 4
je n'ai pas trouver le c) icon_frown

pour le II) a) l0 = a
l1 = a x ( 4 / 3 )1 = 4a / 3
l2 = a x ( 4 / 3 )2 = 16a / 9
l3 = a x ( 4 / 3 )3 = 64a / 27

b)soit a la longueur du segment [AB]
l0 = a = 3a/3
l1 = 3a / 3 - a / 3 + 2a / 3
On divise"a"par 3, la partie centrale est remplacée par 2a donc:
ln = a x ( 4 / 3 )n

c)( 4 / 3 )9 = 49/39 ≈ 13,3

pour celui-la je pense avoir faux:
d)l54 = a( 4 / 3 )54
l54 ≈ 5 580 740 ≥ a106

voila ou j'en suis icon_confused
bien sur j'ai fait le V) mais c'est un dessin...
merci pour votre aide

modifié par : GTO, 28 Fév 2008 - 11:44
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Envoyé: 28.02.2008, 19:33

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

Status: hors ligne
dernière visite: 09.09.15
Alors, pour le I) tu as une relation de récurrence très simple, caractéristique d'un certain type de suite que tu devrais reconnaître...

pour le II), la justification du b) est moyenne, en fait il faut dire que si tu prends une figure pour passer à la suivante, tu fais l'opération sur chaque côté et donc tu multiplie chaque côté par 4/3 (passage de l0 à l1) et donc tu multiplie la longueur totale par 4/3, tu as donc une relation de récurrence du type ln= (4/3)*ln-1, ce qui te permet de conclure de la même manière que dans le I.
Il ne faut pas calculer (4/3)54, c'est un calcul un peu trop compliqué, il vaut mieux remarquer que 6*9=54...
Pour 10100 c'est le même principe. Penses-tu que la suite soit convergente ? Pourquoi ?

Pour le III, je te rappelle juste pour l'instant que l'aire d'un triangle c'est base*hauteur/2 et que la hauteur d'un triangle équilatéral est normalement connue (et se retrouve par Pythagore ...).

modifié par : raycage, 28 Fév 2008 - 19:33


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