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thefifi
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Envoyé: 22.02.2008, 21:04
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Constellation
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Bonjour,
Voila je faisais un exercice sur les suite et récurrences mais j'ai quelques petits soucis pour continuer donc je m'adresse à vous pour que vous puissiez me venir en aide si possible.
1. k = 1 : u0= 0.25
u(n+1)= un (1-un)
a. Prouver que la suite ( u n ) n Œ N est décroissante.
b. En déduire qu’elle est convergente vers un réel noté l.
c. Prouver que la suite ( u n ) n ΠN converge vers 0.
2. k = 2 :
u0= 0.25
u (n+1) = 2un (1 - un)
a. Montrer par récurrence que u n = 1/2 - 1/2 (1/2)^2^n
b. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente et déterminer sa limite, en détaillant avec soin le raisonnement.
3. On étudie la suite ( u n ) n Œ N lorsque 4/3
u0= 0.25
u (n+1) = k un (1-un)
a. Prouver que, n ŒN, 0 2
b. Etudier le sens de variation de la suite ( u n ) n Œ N , pour tout k Œ[ ; 2 ].
c. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente vers un réel l que l’on exprimera en fonction de k.
d. Quelle est la particularité de la suite ( u n ) n Œ N lorsque k = 4/3? justifier
Réponses:
1. a) suite décroissante : u(n+1) < ou égal à un ainsi u(n+1) -un < ou égal à 0 d'ou un(1-un) - un < ou égal 0
un - (un)^2 - un < ou égal à 0 alors - (un)^2 < ou égal à 0 ainsi c'est négatif donc on peut dire que un >ou égal à u (n+1) ainsi on en conclut que la suite un est décroissante.
b. convergente vers l
d'aprés le tableau de variation f (un) = u(n+1) est décroissante entre k/4 et 0 donc minorée par 0. or d'aprés le théorème une suite décroissante et minorée est dite convergente donc la suite converge vers un réel qu'on notera l .
c. convergente vers 0 :
puisque la suite est décroissante et minorée par o et qu'elle est donc convergente donc on peut en conclure que la suite est convergente vers 0.
Voila pour l'exercice 1 pourriez vous me dire ce qui ne va pas pour cet exercice totu d'abord. Merci d'avance
modifié par : thefifi, 22 Fév 2008 - 22:21
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raycage
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Envoyé: 23.02.2008, 01:49
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salut thefifi,
pouur le 1 et le 2 les justifications ne sont pas claires mais les idées sont là, pour le 3 tu racontes des horreurs : la limite n'est pas forcément égale au minorant (on aurait très bien pu dire que la suite était minorée par -12...). Peut-être as-tu des théorèmes qui parlent de points fixes ?
Pour tout bagage on a vingt ans On a l'expérience des parents On se fout du tiers comme du quart On prend le bonheur toujours en retard. [Ferré]
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thefifi
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Envoyé: 23.02.2008, 13:25
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Constellation
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"Peut-être as-tu des théorèmes qui parlent de points fixes " je vois pas de quel théorème vous parlez :s !!
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raycage
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Envoyé: 23.02.2008, 14:09
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non bah tu n'as pas du le voir alors. Ce que tu pourrais faire alors c'est dire que la limite de Un quand n tend vers +∞ est la même que la limite de Un+1 quand n tend vers +∞, tu pourrai en tirer une équation sur l qui te permettrait de trouver sa valeur.
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thefifi
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Envoyé: 24.02.2008, 12:13
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Constellation
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Un est décroissante et minorée par l
Donc Un>l quel que soit n
1-Un
La limite est l : l< Un < l/(1-l)
Or 1-Un< 1-l
Un+1 < (1-l)*l/(1-l)
Un+1
ainsi Un+1 < l< Un
Mais en fait je vous plus comment faire je suis pommée :s !!
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raycage
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Envoyé: 24.02.2008, 13:07
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je vois mal comment tu peux arriver à Un+1
Non il faut que tu écrives que la limite de Un+1 est l et que Un+1=Un(1-Un) donc que sa limite est aussi ... Et donc par unicité de limite tu obtiens une équation du second degré en l dont une solution peut être éliminée par décroissance de la suite.
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thefifi
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Envoyé: 24.02.2008, 13:50
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Constellation
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lim Un+1 = l
U(n+1) = Un ( 1 - Un)
donc lim Un ( 1- Un) = l
donc lim Un+1 = lim un = l
réel l : l = l(1-l) <=> l = l- l² <=> l²= 0 donc 2 solutions  l ou - l
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raycage
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Envoyé: 24.02.2008, 14:57
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bah non l²=0 il n'y a qu'une seule solution : ...
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