Fonctions et suites

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Modéré par: Jeet-chris, Thierry, Zauctore

	Fonctions et suites

Bourasland	Envoyé: 18.02.2008, 21:51
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercie. Voici l'énoncé, Soit $n\in \mathbb{N^}$ . On pose $\varphi : \mathbb{R_+^\to \mathbb{R}$ $\fbox{x\to xln(1+\frac{1}{x})-1 }$ $f: \mathbb{R_+}\to \mathbb{R}$ $\fbox{x\to \frac{x^n}{n!}exp{-x} }$ 1) a) Montrer que la fonction $\varphi$ peut être prolongée par continuité en 0 en posant $\varphi(0)=0$ . b) Etudier $\varphi$ et en déduire que $\varphi \le 0$ 2) Etudier $f_n$ et exprimer $M_n=\sup_{\mathbb R_+} f_n$ en fonction de $n$ . 3) On pose $u_n=ln(\frac{M_{n+1}}{M_n})$ . Montrer que $u_n=\varphi(n)$ . En déduire que $(M_n)_{n\in \mathbb{N^*}}$ converge (sans déterminer sa limite) bon pour la question 1)a Pour moi, on peut prolonger cette fonction en 0 en posant $\varphi(0)=0$ si, $\lim_{x\to 0}\varphi=0$ mais ça n'est pas le cas $\lim_{x\to 0}\varphi=-1$ Où est le problème? pour ce qui est de l'étude de $\varphi$ , j'ai trouvé $\varphi'(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}$ mais je suis bloquer pour résoudre $\varphi'(x)=0$ Fau t'il dériver une seconde fois? Pour la suite je n'est pas encore trouvé...


kanial	Envoyé: 18.02.2008, 22:49
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Salut bourasland, Pour la 1-a), $1$\lim_{x\to 0}\varphi(x)$ n'est pas égale à 0... Pour déterminer la limite tu peux faire un changement de variable en 1/x, tu devrais ensuite reconnaître une limite connue... Pour la 1-b), je ne suis pas convaincu de ta dérivation, je te laisse la revoir... Pour la 2) c'est une simple étude de fonctions même si il y a un paramètre en plus (n). On verra la suite plus tard... modifié par : raycage, 18 Fév 2008 - 23:05 L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 00:01
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	Bon pour la limite en 0 En posant $X=\frac{1}{x}$ On ne trouve toujours pas $\lim_{x\to 0}\varphi=0$ On trouve toujours $\lim_{x\to 0}\varphi=-1$ Or ça n'est pas ce que l'on veut car on veut poser $\varphi(0)=0$ Pour cela il faut que la limite en 0 soit nulle, non? Pour ce qui est de ma dérivée je ne vois pas où est le problème...

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 00:17
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	oui excuse-moi je ne me suis pas bien exprimé, je voulais dire que la limite de xln(1+1/x) quand x tend vers zéro n'est pas nulle, ce que tu sembles dire. Normalement, en faisant ce changement de variable on s'en aperçoit... L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 01:27
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	Ok oui c'est bon, on trouve bien $\lim_{x\to 0}\varphi(X)=0$

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 01:40
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	bon après j'ai étudié $f_n$ et j'ai trouvé, $M_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}$ c'est bien ça?

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 12:18
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Oui c'est ça, et pour l'étude de φ où en es-tu ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 12:22
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	bon pour $M_n$ c'est ça puisque j'ai bien trouvé $u_n=\varphi(n)$ Par contre je n'arrive pas très bien à faire le lien entre $M_n$ et $\varphi(n)$ , je sais que $\varphi(n)$ converge vers 0 mais après.... Mais comme $u_n=\varphi(n)$ , par passage à la limite on trouve, $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$ c'est ça ? (mais on nous demande de ne pas determiner la limite donc....)

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 12:54
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Ce n'est pas la convergence de (U_n) que tu cherches mais celle de (M_n). Regarde bien ce que la question 1-b) peux t'apporter... L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 13:09
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	et bien avec la question 1)b on peut écrire que, $u_n\le 0$ , non?

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 13:28
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	oui et qu'en déduis-t-on concernant (M_n), car c'est (M_n) qui nous intéresse ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 13:32
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	et bien cela veut dire que $M_{n+1}\le M_n$

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 13:33
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	euh je reviens dans 2h environ a+

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 13:41
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	oui et M_n+1 ≤ M_n ça veut dire que la suite (M_n) est ... modifié par : raycage, 19 Fév 2008 - 13:41 L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 17:47
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	Donc la suite $M_n$ est décroissante

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 18:05
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	que te manque-t-il pour savoir qu'elle est convergente ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 18:13
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	Il faut qu'elle soit majorée ou minorée

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 18:23
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	majorée ou minorée ? Quel est le terme général de cette suite, que peut-on en dire ? modifié par : raycage, 19 Fév 2008 - 18:24 L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 18:33
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	le terme général? $M_n=\frac{n^n}{n!}exp{-n}$

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 18:39
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Est-ce que (M_n) doit être minorée ou majorée pour que l'on puisse dire qu'elle converge ? Que peut-on dire de M_n ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 18:40
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	il faut qu'elle est une limite $L$ finie

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 18:45
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	ça c'est ce qu'on cherche à démontrer... (converger et admettre une limite finie c'est la même chose) Je reprends : On veut montrer que (M_n) est convergente, on sait qu'elle est décroissante, que nous manque-t-il pour affirmer qu'elle est convergente ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 19:26
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	eh bien il faut qu'elle soit minorée non? modifié par : Bourasland, 19 Fév 2008 - 19:34

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 19:32
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	oui et au vu de l'expression de M_n ne peux-tu pas minorer par quelquechose d'assez simple ? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 19:37
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	$\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge \frac{n^n}{(n+1)!}exp{-n}$ par exemple ?

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 19:42
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Non tu dois minorer par quelquechose qui ne dépend pas de n (et puis j'ai dit un truc simple ...) L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 19:47
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	ah oui ba $\frac{n^n}{n!}exp{-n}\ge 0$ car $n\in\mathbb{N^*}$

kanial	Envoyé: 19.02.2008, 19:57
Modérateur enregistré depuis: Apr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	Oui ! Du coup à moins que tu aies d'autres questions ton exercice est fini... L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

Bourasland	Envoyé: 19.02.2008, 20:07
Une étoile enregistré depuis: Jan. 2008 Messages: 39 Status: hors ligne dernière visite: 09.03.08	OK eh bien merci beaucoup pour votre aide !