Etudes des variations

Bonjour à tous.
J'ai un exercice à faire qui me pose des problèmes, j'ai beau retourner dans tous les sens, je ne trouve pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? Le voici :
ABCD est un carré de 4 cm de côté.
E est le milieu du segment [AD]. On considère un point M du segment [AB].
La perpendiculaire à la droite (EM) en M coupe le segment [BC] en N.
On pose AM = x et on appelle f(x) l'aire du triangle ENM.

Etudier les variations de la fonction f sur [0;4[
En déduire un encadrement de f(x) pour x élément de [0;2]

Salut prisca,
un dessin d'abord pour visualiser :

Il faut déjà commencer par exprimer f(x) en fonction de x. Comment peux-tu calculer l'aire de EMN ?

L'aire de EMN c'est (EM x MN) /2

En fait j'ai trouvé EM, c'est racine (4 + x au carré). Mais après je cale.

Donc en fait dans le triangle AME tu connais tout (longueurs, angles).
Maintenant tu cherches MN, il faut donc regarder ce que tu connais dans le triangle BMN, longueurs et angles...

Dans le triangle AME je ne connais que les longueurs et l'angle droit.
Pour BMN je connais BM = 4 - x et l'angle droit en B.

Dans AME tu n'as calculé que les longueurs, mais tu es capable de déterminer les deux angles par de la trigo... Donc tu connais tout (potentiellement).
Dans le triangle BMN tu n'as donc que deux renseignements, or pour tout connaître dans un triangle il te faut trois renseignements (à part si les trois renseignements sont les trois angles, mais ici ce n'est pas le cas), il te faut donc déterminer un truc de plus dans BMN...

Je pensais prouver que l'angle AEM = angle BMN (je sais pas trop comment, par la logique ça se voit) et ensuite par les tangeantes je trouverai BN et ensuite par Pythagore MN. Mais ça me parait lourd. Est-ce que cela serait juste ?

Malheureusement les angles AEM et BMN n'ont aucune raison d'être égaux. Par contre la piste de l'angle BMN est bonne...

Alors là, je ne vois plus quoi faire !

je ne sais pas comment faire pour calculer des angles par la trigonométrie avec des valeurs x.

Je ne pense pas que tu aies besoin de calculer les angles explicitement, la connaissance de leur sinus/cosinus devrait suffire.
Ne pourais-tu pas relier l'angle BMN à un angle du trianle AME... Regarde bien le dessin.

Dans triangle AME : Angle AEM = 180° - angle EAM(90°) - angle AME et
Dans triangle plat AMB : Angle BMN = 180° - angle MBN(90°) - angle AME
Donc j'en concluais que angle AEM = angle BMN.

TanAEM = donc tanBMN
donc AM/AE = BN/BM
donc BN=x(4-x)/2

Citation
Dans triangle AME : Angle AEM = 180° - angle EAM(90°) - angle AME et
Dans triangle plat AMB : Angle BMN = 180° - angle MBN(90°) - angle AME
Tu as un angle AME dans le triangles BMN toi ?

Non, je me sers du triange plat AMB

Dans ce cas, ni AME, ni BMN, ni MBN n'appartiennent à ce triangle ! Travailler dans un triangle plat n'apporte pour ainsi dire jamais rien.
Ne pourais-tu pas relier l'angle BMN à un angle du trianle AME... Regarde bien le dessin.

angle BMN = 90° - angle AME
mais je ne vois pas de suite ?

Tu ne vois pas de suite ? Pourtant tu connais AME (ses sinus et cosinus en tous cas) et l'angle BMN pourrait être très intéressant pour trouver MN...

oups! toutes mes excuses, je crois que j'ai compris.
Je suis désolée, ça ne m'est venu qu'après.
J'essayerai de faire les calculs demain car maintenant mes parents m'appellent pour aller manger.
Merci raycage pour ta patience, j'espère que mon exercice sera juste et je te le devrai. Bonne soirée