Bonjour a tous, j'aurai besoin d'aide pour un dm de maths sur les équations du troisième degré
j'ai réussi a faire la question 1a) mais la b et c me posent problème. je trouve f'(x) = 3x² + p et si on résout 3x² + p = 0 je crois qu'on trouve x1 = √(-p/3) et x2 = - √(-p/3) mais après
je ne sais pas du tout comment continuer...je suis bloquée.
Je vous remercie d'avance.
Voici le sujet :
1 . On considère une fonction f définie sur R par f(x) = x³ +px + q où p et q sont deux nombres donnés.
a) Montrer que si p≥0 la fonction f n'admet ni minimum ni maximum
b) Montrer que si p<0 la fonction f admet un minimum local m et un maximum local M
c) démontrer que mM = q² +(4p³ /27)
2. On suppose désormais que p est strictement négatif
a) Montrer en s'appuyant sur des considérations graphiques que :
. Si mf(x)=0 admet une solution et une seule
. Si m=0 ou si M=0 alors cette équation admet 2 solutions.
. Si m<0R
b)Déduire des questions précédentes que l'équation x³ + px +q =0 admet trois solutions distinctes dans Rsi et seulement si 4p³ +27q² <0
c) En déduire le nombre de solutions des équations suivantes, puis contrôler les résultats avec une calculatrice.
x³+2x 5=0
x³-3x+3=0
x³-3x+2=0
x³-3x+1=0
1.b) Tu trouves des valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule. Maintenant il s'agit de savoir si la fonction change de variation ou non : soit c'est comme la fonction carré, soit c'est comme la fonction cube. Dans le premier cas il y a un maximum ou un minimum, dans le second rien du tout.
Conclusion : dresse le tableau de variation de f, et regarde si aux points d'annulation de la dérivée f change de variation.
1.c) m et M sont les valeurs du minimum et du maximum ? Dans ce cas on te demande de calculer tout simplement le produit f(x1)f(x2) et de montrer qu'il est égal à l'expression de l'énoncé.
