racine de 2 n'est pas un nombre rationnel

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• R

  rebus dernière édition par
  
  

  Le but de cet exercice est de démontrer que $sqrt$2 n'est pas un nombre rationnel.
  Pour cela, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire que l'on suppose que $sqrt$2 est un nombre rationnel, et on démontre alors que ce n'est pas possible parce que l'on aboutit à une contradiction.
  On suppose que $sqrt$2 est un nombre rationnel.

  1. a) Justifier qu'il existe deux entiers p etq non nuls et premiers entre eux tels que $sqrt$2=p/q.
     b) En déduire que $2\ast \ast q{\ast }^2$ = $<em>p</em{>}^2$.

  Je pense que je peux résoudre le reste de l'exercice si vous m'édiez pour la réponse à la première question. L'exercice le 60p32 du livre de seconde de la collection radial, math edition BELIN.
  Je vous remercie d'avance.
  Vous pouvez repondre sur le forum ou par e-mail à jeremyrebus@hotmail.com

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• F

  flight dernière édition par @rebus
  
  

  On suppose que $sqrt$ 2 ) s'écrit sous la forme a/b où a appartient à l'ensemble N et b à l'ensemble N*
  et que a/b est une fraction irréductible.

  Raisonnons par l'absurde et supposons: rac (2) rationnel

  Étant rationnel: $sqrt$ 2 )= P/Q

  On réduit la fraction au maximum rac (2 )= M/N

  M et N n'ont pas de diviseurs en commun M et N premiers entre eux

  Élevons au carré: 2 = M² /N²

  Ou: M² = 2 N²

  On déduit: M² est pair

  Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité M est pair et M = 2K

  On revient à l'expression au carré: M² = 4 K² = 2 N²

  Ou N² = 2 K²

  Même raisonnement avec N: N est pair et N = 2 J

  Alors M et N ont un facteur commun 2 est facteur commun à M et N

  La contradiction montre que l'hypothèse est: Fausse au départ

  Et que: $sqrt$ 2) est irrationnel

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