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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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racine de 2 n'est pas un nombre rationnel

  - catégorie non trouvée dans : Seconde
Envoyé: 18.09.2005, 11:45



enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 1

Status: hors ligne
dernière visite: 18.09.05
Le but de cet exercice est de démontrer que racine2 n'est pas un nombre rationnel.
Pour cela, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire que l'on suppose que racine2 est un nombre rationnel, et on démontre alors que ce n'est pas possible parce que l'on aboutit à une contradiction.
On suppose que racine2 est un nombre rationnel.

1) a) Justifier qu'il existe deux entiers p etq non nuls et premiers entre eux tels que racine2=p/q.
b) En déduire que 2*q2 = p2.

Je pense que je peux résoudre le reste de l'exercice si vous m'édiez pour la réponse à la première question. L'exercice le 60p32 du livre de seconde de la collection radial, math edition BELIN.
Je vous remercie d'avance.
Vous pouvez repondre sur le forum ou par e-mail à jeremyrebus@hotmail.com

modifié par : Thierry, 02 Oct 2008 - 11:23
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Envoyé: 18.09.2005, 12:31

Cosmos
flight

enregistré depuis: févr.. 2005
Messages: 528

Status: hors ligne
dernière visite: 21.11.10
On suppose que racine 2 ) s'écrit sous la forme a/b où a appartient à l'ensemble N et b à l'ensemble N*
et que a/b est une fraction irréductible.


Raisonnons par l'absurde et supposons: rac (2) rationnel

Étant rationnel: racine 2 )= P/Q

On réduit la fraction au maximum rac (2 )= M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun M et N premiers entre eux

Élevons au carré: 2 = M² /N²

Ou: M² = 2 N²

On déduit: M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité M est pair et M = 2K

On revient à l'expression au carré: M² = 4 K² = 2 N²

Ou N² = 2 K²

Même raisonnement avec N: N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun 2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est: Fausse au départ

Et que: racine 2) est irrationnel






flight721
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