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Modéré par: Thierry
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Math-fiche - Factorisation d'un polynôme par identification

Envoyé: 20.12.2007, 23:03

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification. Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré n.


Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)

Il s'agit de trouver 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x :


Pour déterminer les 3 réels a, b, c on commence par développer le membre de droite :


et on regroupe les termes de même degré :


Ensuite a lieu l'identification. Pour que l'égalité :

soit vraie pour tout x de , il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :



Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a , b et c qui conviennent. On trouve


On conclut :



Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)

Soit P(x) un polynôme de degré n


et soit x0 une racine de ce polynôme, alors P(x) peut s'écrire sous la forme :
avec Q(x) un polynôme de degré n-1.

On part de :

(les bi sont les coefficents de Q(x) que nous cherchons)

que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :


D'où le système :


Ainsi en résolvant le système on trouve bn-1, bn-2, ..., b1, b0 ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x).



Lien vers l'Article


modifié par : Zorro, 22 Déc 2007 - 17:53
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Envoyé: 20.12.2007, 23:43

Webmaster
Thierry

enregistré depuis: juil.. 2004
Messages: 3135

Status: hors ligne
dernière visite: 20.07.16
En effet c'est le genre de chose qu'il vaut mieux avoir tout prêt pour l'expliquer !
Merci pour ces fiches et d'avoir joué le jeu d'un travail collectif (merci zoombinis).


Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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Envoyé: 21.12.2007, 14:35

Galaxie
vaccin

enregistré depuis: oct.. 2007
Messages: 296

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dernière visite: 22.02.16
bonjour
deux excellentes fiches
@+


r.d
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Envoyé: 22.12.2007, 17:46

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
En effet merci zoombinis pour la généralisation. Moi je n'ai traité que l'exemple du polynôme de degré 3.

Et il n'y a que mon pseudo qui apparait sur cette fiche, alors qu'on a été 2 à la réaliser.
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