proba et matrice

bjr, je suis actuellement en 2e année de DUT Génie Civil et j'ai un petit problème à résoudre. De l'aide me serait grandement utile!!!

Sujet :

étude statistique sur une équipe de foot:
Au nième match,
-si l'équipe a gagné, elle gagne le prochain match avec une proba de 2/3 et perd ou fait match nul avec la même proba (1/6)

-si l'équipe a perdu, elle perd le prochain match avec une proba de 2/3 et gagne ou fait match nul avec la même proba (1/6)

-si l'équipe a fait match nul, elle perd le prochain match avec une proba de 2/3 et gagne ou perd avec la même proba (1/6)

TRAVAIL :

Dans un premier temps en supposant que l'équipe gagne son premier match, calculer les probabilités que l'équipe gagne, perde ou fait match nul au nième match. En déduire les limites des probabilités précédentes lorsque n tend vers l'infini.
Interpréter ces résultats

-Dans un deuxième temps montrer que ces limites sont indépendantes du résultat du premier match.

PISTE DE RECHERCHE : Diagonalisation de matrice

J'aurais jamais cru voir des matrices dans des probas, mais si ^^

Donc on a la matrice A :
Ligne 1 : 2/3 1/6 1/6
Ligne 2 : 1/6 2/3 1/6
Ligne 3 : 1/6 1/6 2/3

On a une matrice colonne $M_n$ = $a_n$ , $b_n$ , $c_n$ ). $a_n$ est la proba que l'équipe gagne le n ème match, b qu'elle fasse nul et c qu'elle le perde.

Si elle gagne le premier match, $M_1$ = (1,0,0)
Et on a $M_2$ = $AM_1$
Et tu peux vérifier qu'on trouve bien les probas de l'énoncé.

On a en fait la relation :
$M_{n+1}$ = $M_n$

Je te laisse continuer. Voilà !