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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Préparation pour le bac sur les fonctions.

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 24.11.2007, 20:39

Galaxie


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bonjour,

J'ai un exo sur les fonctions que je n'arrive pas à faire bien que je pense qu'il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y.
Personnellement j'apprends mes théorème mais problème pour le démontrer.

voici l'énoncé:
Etudier, pour x et y éléments distincts de l'intervalle ]0 ; + infini[ , les couples solutions de l'équation x^y=y^x et , en particulier , les couples constitués d'entiers.

et mon début de réponse:
x^y = e^[ln(x^y)] = e^[yln(x)] et y^x = e^[xln(y)]

x^y = y^x <=> e^[yln(x)] = e^[xln(y)]
<=> yln(x) = xln(y)
<=> ln(x)/x = ln(y)/y

Soit g(t)=ln(t)/t. On cherche à savoir si deux abscisses distinctes peuvent avoir la même image, c'est à dire: existe-t-il x et y tels que x différent de y et g(x)=g(y)

Pour répondre à cette question, j'essayerai de déterminer les variations de g. Si g est monotone, la réponse est NON. Si elle n'est pas négative, alors il faut faire un tableau de variation pour voir si on peut trouver x et y.

g'(t) = ((1/t)t-ln(t))/t² = (1-ln(t))/t²
g'(t) > 0 <=> ln(t) < 1 <=> t < e

lim g(t)=-oo
t->0

g(e)=1/e

lim g(t)=0
t->+oo

On a une courbe en forme de cloche, donc on a des solutions.
Comme g est croissante sur ]0,e] et qu'elle prend des valeurs entre -oo et 1/e, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique a appartenant à ]-oo;e] tel que g(a)=0

Et alors, si on choisit x dans l'intervalle ]a;e[, alors il existe un y dans l'intervalle ]e;+oo[ tel que g(x)=g(y).

Pour les cas d'entiers, pas d'idée pour le moment


Merci pour tout , à bientôt.

Intervention de Zorro = correction faute d'orthographe dans le titre

modifié par : Zorro, 24 Nov 2007 - 23:36


benja
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Envoyé: 24.11.2007, 20:59

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kanial

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Salut benja,
Citation
il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y

Ceci ne veut rien dire ...
Sinon ce que tu as fait est très bien, pour les cas d'entiers, il serait intéressant de voir quels entiers appartiennent à l'intervalle ]a,e[.


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Envoyé: 24.11.2007, 23:18

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raycage
Salut benja,
Citation
il suffit de démontrer l'équivalence de ln(x)/x = ln(y)/y

Ceci ne veut rien dire ...
Sinon ce que tu as fait est très bien, pour les cas d'entiers, il serait intéressant de voir quels entiers appartiennent à l'intervalle ]a,e[.


je ne vois pas du tout...


benja
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Envoyé: 24.11.2007, 23:34

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bah a est un réel, e aussi et ce que tu cherches sont les couples de nombres entiers dont l'un est compris entre a et e (ce sont les seules solutions possibles de l'équation), tu n'as donc plus qu'à chercher quels sont les nombres entiers compris entre a et e, il faudrait pour cela avoir une valeur approchée de a.


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Envoyé: 24.11.2007, 23:46

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ben e € ]0;+oo[ donc a et e € à ]a;]0;+oo[[ ???


benja
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Envoyé: 24.11.2007, 23:58

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????? Bon on va oublier que tu as écrit ce dernier message assez étrange.
Je reprend : Tu as déterminé que les solutions de l'équation sont les couples formés d'un élément de l'intervalle ]a;e[ et d'un élément correspondant dans l'intervalle ]0;+∞[.
Maintenant tu cherches les solutions qui sont des entiers, si il en existe alors pour chaque couple solution, il y aura un des deux éléments qui sera dans l'intervalle ]a;e[, e on sait déjà qu'il est environ égal à 2,7, il nous manque une approximation de a pour savoir si si il existe des entiers entre a et e et essayer de déterminer lesquels.


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Envoyé: 25.11.2007, 11:07

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ok mais on la calcule comment l'approximation de a??


benja
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Envoyé: 25.11.2007, 13:33

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Par dichotomie par exemple


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Envoyé: 25.11.2007, 14:13

Galaxie


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raycage
Par dichotomie par exemple

dichotomie kesko??
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benja
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Envoyé: 25.11.2007, 15:42

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mais non je suis bête même pas besoin de dichotomie (tu verras ce que c'est dans l'année normalement, c'est pas si barbare que ça en a l'air), tu peux trouver la valeur exacte. Comment est caractérisé a ?


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