Complexes (ex Inversion)


  • R

    Bonjour,
    J'ai un exercice sur les complexes à faire, et je ne pige rien du tout. J'ai fait qqs trucs, mais bon ca reste à voir.

    (O; u; v) est un repère orthonormal du plan complexe. A tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M' d'affixe z' telle que z' = (-1 / (z barre))
    1.a Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
    b. En déduire que les points O, M et M' sont alignés.
    2. Démontrer que (z'+1 barre ) = (1/z) (z-1)
    3. On nomme A et B les points d'affixe 1 et -1. On désigne par T le cercle de centre A contenant le point O et par T* le cercle T privé du point O. On suppose dans cette question que le point M appartient à T*.
    a. Justifier l'égalité module de (z-1) = 1.
    Démontrer que module de (z'+1) = module de z'. Interprétrer géométriquement cette égalité.
    b.Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M' à partir du point M.
    4.On désigne par C le cercle de diamètre [AB]. On suppose dans cette question que le point M appartient à C. Démontrer que M' appartient à C, et construire M'.

    J'ai fait la question 1.a. et 2.
    1.a. z' = 1/(zbarre) ⇔ arg z' = arg ( -1/(z barre))
    ⇔ arg z' = - arg (- (z barre))
    ⇔ arg z' = - (arg (z barre) + π )
    ⇔ arg z' = -( - arg z + π)
    ⇔ arg z' = arg z + π

    1. z' = 1/(z barre) ⇔ (z'+1 barre ) = (z' barre) +1
      ⇔ (z'+1 barre ) =- ((1/(zbarre) barre) +1
      ⇔ (z'+1 barre ) = - (1/z) +1
      ⇔ (z'+1 barre ) = (z-1)/z

    Voilà, c'est tout ce que j'ai réussi à faire. Est-ce que c'est bon mdr ?
    Et si vous avez des idées pour les autres questions voilà.
    Merci

    *Intervention de Zorro = modification du titre parce que "inverson' n'avait pas trop de rappport avec le sujet ! *


  • kanial
    Modérateurs

    salut rose,
    ce que tu as fait est bon.
    1-b) M et M' ont des affixes de même argument modulo π, ils sont donc bien alignés avec l'origine (pour être plus précise tu peux calculer l'équation de la droite MM'et montrer que O en fait partie)
    3-a)M∈T*, quelle est alors la distance de M à A?
    On verra le reste après...


  • R

    M(z) et A(1) donc module de zm - za = module de z-1 = AM.
    Mais cmt prouver que c'est égal à 1?


  • R

    C'est égal à 1, parce que A est le centre de T*, comme M appartient à T* alors AM = 1


  • R

    La question 1a et 2 le début, c ac z' = -1 /z barre!!!!!
    Ca change qqch ou pas ?


  • kanial
    Modérateurs

    Je ne vois pas la nuance.
    Pourrais-tu faire un effort pour écrire en français avec des mots en entier et pour écrire plus proprement tes "z barre", soit en latex : z‾\overline{z}z, soit par tout autre procédé de ton choix s'il-te-plaît.
    (pour le latex, 1z‾\frac{1}{\overline{z}}z1 s'écrit : [ tex]\frac{1}{\overline{z}}[/ tex] sans les espaces avant les tex.)
    Je te laisse continuer un peu, le reste doit pouvoir se faire sans trop de difficulté, demande-nous si tu en rencontres..


  • R

    1.a Au début, de cette question, j'avais mis 1z‾\frac{1}{\overline{z}}z1 mais en fait c'est −1z‾\frac{-1}{\overline{z}}z1. Donc je me demandais si ca changeait quelque chose, si le - venait tout changer ou si ca restait comme ça:

    z' = −1z‾\frac{-1}{\overline{z}}z1 ⇔ arg z' = arg (−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}z1)
    ⇔ arg z' = - arg (-z‾{\overline{z}}z)
    ⇔ arg z' = - arg (z‾{\overline{z}}z + π)
    ⇔ arg z' = - ( - arg z + π)
    ⇔ arg z' = arg z - π
    C'est toujours valable avec le (−1z‾\frac{-1}{\overline{z}}z1)
    ?

    1.b. Les points O, M et M' sont alignés.

    La question 2 ne change pas.

    3.a. On sait que A est le centre du cercle T* et que M appartient à T * donc AM = 1.
    M(z) et A(1) donc module de zm - za = module de z-1 = AM.
    Donc module de z-1 = 1

    b. B(-1) et M' (z') donc module de zm' - zb = zm' - zo
    ⇔ BM' = OM'
    ⇔ M' est la médiatrice de [OB]
    ⇔ module de z' +1 = module de z'
    Mais c'est écrit démontrer que module de z' +1 = module de z'. Et ce que j'ai fais, c'est pas vraiment une démonstration .


  • kanial
    Modérateurs

    Merci beaucoup pour le latex c'est quand même bien plus agréable à lire, pour le module tu peux écrire | en appuyant simultanément sur les touches (alt gr) et 6 de ton clavier...
    quelquechose me dérange un peu dans ton calcul :
    ⇔ arg z' = - arg (-z‾{\overline{z}}z)
    ⇔ arg z' = - arg (z‾{\overline{z}}z + π)
    Ceci est faux, arg(-z)=arg(z)+π (ou -π)
    Mais ton calcul reste juste, pour démontrer que |z'+1|=|z'|, regarde la question 2, ce que tu m'as écrit toi est en fait l'interprétation géométrique.


  • R

    Je ne vois pas vraiment le rapport entre la question 2 et la 3.
    On a z′+1‾{\overline{z'+1}}z+1 = 1/z ( z -1 ) = 1 - 1/z
    On a aussi z' = −1z‾\frac{-1}{\overline{z}}z1.
    Donc |z'| = |-1| / |z‾{\overline{z}}z|.
    Et on doit démontrer que | z'+1| = |z'|.

    Et comment je fais pour la 3.b.: déduire une construction géométrique du point M' par rapport au point M. M' est la médiatrice de [OB] et M appartient à T* avec AM = 1 .


  • R

    C'est bon, j'ai trouvé comment démontrer que |z'+1| = |z'|.
    Mais par contre, je ne sais toujours pas déduire une construction géométrique du point M' par rapport au point M. M' est la médiatrice de [OB] et M appartient à T* avec AM = 1 .


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