Exercice : Exponentielle (pour demain)
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Bbobgnigni dernière édition par
Voila j'ai de petits problèmes pour faire cet exercice :
Enoncé :
Etudier la continuité et la dérivabilité en zéro des fonctions suivantes et interpréter graphiquement.
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f définie sur [0 ; +∞[ par $\left{ {f(x) = e^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \ f(0) = 0 } \right.$
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g définie sur [0 ; +∞[ par $\left{ {g(x) = xe^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \ g(0) = 0 } \right.$
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h définie sur r{r}r par $\left{ {h(x) = \frac{x^2}{e^x -1}} \text{ si x different de 0 } \ h(0) = 0 \right.$
Alors voila ce que j'ai trouvé :
- limx→0f(x)=0 car limx→01x=+∞\lim _{x \rightarrow 0}f(x) =0 \text{ car }\lim _{x \rightarrow 0}\frac 1 x={+} \inftylimx→0f(x)=0 car limx→0x1=+∞
limx→+∞f(x)=1 car limx→+∞1x=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) =1 \text{ car }\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac 1 x=0limx→+∞f(x)=1 car limx→+∞x1=0
La courbe admet donc une asymptote d'équation y = 1
f'(x) = −e−1/x-e^{-1/x}−e−1/x ?
je bloque un peu la surtout que j'ai pas tout compris ce qu'il fallais faire...
Merci d'avance !
modif : problème d'affichage
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WWIWIWI dernière édition par
Demat,
- Ta limite me parait bonne.
Sinon :
(exp(U(x)))'=U'(x)exp(U(x)).
Donc : f'(x)=f(x)/x^2.
En fait, ce n'est pas trop ça qui t'es demandé : exp(-1/x) est une fonction infiniment dérivable pour x>0, donc continue pour x>0.
La question porte en fait ici sur la "jointure" entre f(0) imposé égal à 0 et la limite de f quand x tend vers 0+. Si cette limite est égale à f(0) (ce qui est le cas) alors c'est continue.
Ar c'hentan'vo !
- Ta limite me parait bonne.
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Bbobgnigni dernière édition par
ok je vais voir ça je poste ma réponse ce soir !!! merci beaucoup !!!
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Bbobgnigni dernière édition par
Alors pour la 1) ça donne :
limx→0+f(x)=0\lim _{x \rightarrow 0{+}}f(x) = 0limx→0+f(x)=0
Car
limx→0+1x=+∞\lim _{x \rightarrow 0{+}} \frac{1}{x} = {+} \inftylimx→0+x1=+∞
Comme on à en prérequis f(0) = 0,
on peut en conclure quelimx→0+f(x)=f(0)\lim _{x \rightarrow 0{+}}f(x) = f(0)limx→0+f(x)=f(0)
donc que la fonction f est continue à droite de zéro.
sur [0 ; +∞[, la fonction f est dérivable :
f'(x) = e−1xx2\frac{e^-\frac{1}{x}}{x^2}x2e−x1
or la fonction exponentielle est toujours positive : exp(X) > 0, en posant X=-1/x
la fonction f étant dérivable sur [0 ; +∞[, elle est continue sur ce meme intervalle.
Mais pour la dérivabilité en zéro j'arrive pas...
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WWIWIWI dernière édition par
En 0 tu peux revenir à la défintion de la dérivée et montrer que c'est fini :
f'(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h en x=0. Tu arrive facilement à montrer que c'est <∞.
(Utilise la limite : lim(x→+∞) xexp(-x)=0 )