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Exercice : Exponentielle (pour demain) |
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bobgnigni
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Envoyé: 14.11.2007, 10:17
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Voila j'ai de petits problèmes pour faire cet exercice :
Enoncé :
Etudier la continuité et la dérivabilité en zéro des fonctions suivantes et interpréter graphiquement.
1) f définie sur [0 ; +∞[ par  = e^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \\ f(0) = 0 } \right.)
2) g définie sur [0 ; +∞[ par  = xe^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \\ g(0) = 0 } \right.)
3) h définie sur  par  = \frac{x^2}{e^x -1}} \text{ si x different de 0 } \\ h(0) = 0 \right.)
Alors voila ce que j'ai trouvé :
1)  =0 \text{ car }\lim _{x \rightarrow 0}\frac 1 x={+} \infty)
 =1 \text{ car }\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac 1 x=0)
La courbe admet donc une asymptote d'équation y = 1
f'(x) = -e-1/x ?
je bloque un peu la surtout que j'ai pas tout compris ce qu'il fallais faire...
Merci d'avance !
modif : problème d'affichage
modifié par : Thierry, 14 Nov 2007 - 22:09
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WIWIWI
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Envoyé: 14.11.2007, 14:40
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Constellation
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Demat,
1) Ta limite me parait bonne.
Sinon :
(exp(U(x)))'=U'(x)exp(U(x)).
Donc : f'(x)=f(x)/x^2.
En fait, ce n'est pas trop ça qui t'es demandé : exp(-1/x) est une fonction infiniment dérivable pour x>0, donc continue pour x>0.
La question porte en fait ici sur la "jointure" entre f(0) imposé égal à 0 et la limite de f quand x tend vers 0+. Si cette limite est égale à f(0) (ce qui est le cas) alors c'est continue.
Ar c'hentan'vo !
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bobgnigni
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Envoyé: 14.11.2007, 17:44
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ok je vais voir ça je poste ma réponse ce soir !!! merci beaucoup !!!
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bobgnigni
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Envoyé: 14.11.2007, 19:12
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Alors pour la 1) ça donne :
 = 0)
Car
Comme on à en prérequis f(0) = 0,
on peut en conclure que
 = f(0))
donc que la fonction f est continue à droite de zéro.
sur [0 ; +∞[, la fonction f est dérivable :
f'(x) = 
or la fonction exponentielle est toujours positive : exp(X) > 0, en posant X=-1/x
la fonction f étant dérivable sur [0 ; +∞[, elle est continue sur ce meme intervalle.
Mais pour la dérivabilité en zéro j'arrive pas...
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WIWIWI
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Envoyé: 15.11.2007, 09:56
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Constellation
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En 0 tu peux revenir à la défintion de la dérivée et montrer que c'est fini :
f'(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h en x=0. Tu arrive facilement à montrer que c'est <∞.
(Utilise la limite : lim(x→+∞) xexp(-x)=0 )
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