Démonstration de la limite d'un produit

Bonjour,

Voilà, j'ai deux fonctions dont je connais la limite en +∞:
lim f(x)= +∞
x→+∞
lim g(x)= -∞
x→+∞

donc
lim [f(x)*g(x)]=-∞
x→+∞

Mais je ne sais pas comment démontrer ce résultat pourtant évident.
J'ai essayé d'utiliser les définition mais je suis vraiment bloquée.

lim f(x)= +∞
x→+∞
donc ∀A∈ℜ, ∃ B∈ℜ tel que x∈ $D_f$ , x>B ⇒f(x)>A

lim g(x)= -∞
x→+∞
donc ∀C∈ℜ, ∃ D∈ℜ tel que x∈ $D_g$ , x>D ⇒ g(x)≤C

Je pense qu'il faut poser E=max (B;D), mais après je ne vois pas comment montrer que :
∀C∈ℜ, ∃ E=max (B;D)∈ℜ tel que x∈ $D_{fg}$ , x>E ⇒ fg(x) ≤C

Je vous remercie par avance

Salut.

J'ai peut-être une astuce, tu me dis si c'est correct. Je te donne l'idée :

$lim⁡x→+∞f(x)g(x)=−lim⁡x→+∞f(x)(−g(x))=−(+∞)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x) = - \lim_{x \to +\infty} f(x)(-g(x)) = -(+\infty) = -\infty$

A partir de là il faut savoir démontrer les limites "-1×+∞" et "+∞×+∞".

J'aime bien ne pas me prendre la tête. :razz:

@+

Moi je ferais :
∃x0 tq ∀x>x0, ∀D<0, g(x) inférieur à D.
∃x1 tq ∀x>x1, ∀C>0, f(x)>C.

D'où :

∃x2=max(x0,x1) tq ∀x>x2, ∀C>0, ∀D<0, f(x)g(x) inférieur à CD.

⇔∃x2 tq ∀x>x2, ∀E<0, f(x)*g(x) inférieur à E.

⇔lim [f(x)*g(x)]=-∞