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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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Démonstration de la limite d'un produit

  - catégorie non trouvée dans : Supérieur
Envoyé: 05.11.2007, 14:33

Une étoile
snoopynette24

enregistré depuis: oct.. 2007
Messages: 22

Status: hors ligne
dernière visite: 15.02.13
Bonjour,

Voilà, j'ai deux fonctions dont je connais la limite en +∞:
lim f(x)= +∞
x→+∞
lim g(x)= -∞
x→+∞

donc
lim [f(x)*g(x)]=-∞
x→+∞

Mais je ne sais pas comment démontrer ce résultat pourtant évident.
J'ai essayé d'utiliser les définition mais je suis vraiment bloquée.

lim f(x)= +∞
x→+∞
donc ∀A∈ℜ, ∃ B∈ℜ tel que x∈Df , x>B ⇒f(x)>A

lim g(x)= -∞
x→+∞
donc ∀C∈ℜ, ∃ D∈ℜ tel que x∈Dg , x>D ⇒ g(x)≤C

Je pense qu'il faut poser E=max (B;D), mais après je ne vois pas comment montrer que :
∀C∈ℜ, ∃ E=max (B;D)∈ℜ tel que x∈Dfg , x>E ⇒ fg(x) ≤C

Je vous remercie par avance




modifié par : snoopynette24, 05 Nov 2007 - 14:38


"Qui veut, peut;
Qui tente, réussit;
Qui aime, vit!" [Anne McCaffrey]
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Envoyé: 05.11.2007, 19:27

Modérateur


enregistré depuis: juin. 2005
Messages: 1469

Status: hors ligne
dernière visite: 24.02.13
Salut.

J'ai peut-être une astuce, tu me dis si c'est correct. Je te donne l'idée :



A partir de là il faut savoir démontrer les limites "-1×+∞" et "+∞×+∞". icon_biggrin

J'aime bien ne pas me prendre la tête. icon_razz

@+
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Envoyé: 08.11.2007, 14:45

Constellation


enregistré depuis: sept.. 2007
Messages: 62

Status: hors ligne
dernière visite: 22.02.13
Moi je ferais :
∃x0 tq ∀x>x0, ∀D<0, g(x) inférieur à D.
∃x1 tq ∀x>x1, ∀C>0, f(x)>C.

D'où :

∃x2=max(x0,x1) tq ∀x>x2, ∀C>0, ∀D<0, f(x)*g(x) inférieur à C*D.

⇔∃x2 tq ∀x>x2, ∀E<0, f(x)*g(x) inférieur à E.

⇔lim [f(x)*g(x)]=-∞




modifié par : WIWIWI, 08 Nov 2007 - 14:53
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