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Démonstration de la limite d'un produit |
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snoopynette24
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Envoyé: 05.11.2007, 14:33
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Une étoile
enregistré depuis: oct. 2007
Messages: 23
Status: hors ligne
dernière visite: 11.11.07
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Bonjour,
Voilà, j'ai deux fonctions dont je connais la limite en +∞:
lim f(x)= +∞
x→+∞
lim g(x)= -∞
x→+∞
donc
lim [f(x)*g(x)]=-∞
x→+∞
Mais je ne sais pas comment démontrer ce résultat pourtant évident.
J'ai essayé d'utiliser les définition mais je suis vraiment bloquée.
lim f(x)= +∞
x→+∞
donc ∀A∈ℜ, ∃ B∈ℜ tel que x∈Df , x>B ⇒f(x)>A
lim g(x)= -∞
x→+∞
donc ∀C∈ℜ, ∃ D∈ℜ tel que x∈Dg , x>D ⇒ g(x)≤C
Je pense qu'il faut poser E=max (B;D), mais après je ne vois pas comment montrer que :
∀C∈ℜ, ∃ E=max (B;D)∈ℜ tel que x∈Dfg , x>E ⇒ fg(x) ≤C
Je vous remercie par avance
modifié par : snoopynette24, 05 Nov 2007 - 14:38
"Qui veut, peut;
Qui tente, réussit;
Qui aime, vit!" [Anne McCaffrey]
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Jeet-chris
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Envoyé: 05.11.2007, 19:27
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Modérateur
enregistré depuis: jun. 2005
Messages: 1168
Status: hors ligne
dernière visite: 22.06.08
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Salut.
J'ai peut-être une astuce, tu me dis si c'est correct. Je te donne l'idée :
g(x) = - \lim_{x \to +\infty} f(x)(-g(x)) = -(+\infty) = -\infty)
A partir de là il faut savoir démontrer les limites "-1×+∞" et "+∞×+∞". 
J'aime bien ne pas me prendre la tête. 
@+
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WIWIWI
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Envoyé: 08.11.2007, 14:45
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Constellation
enregistré depuis: sep. 2007
Messages: 60
Status: hors ligne
dernière visite: 06.02.08
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Moi je ferais :
∃x0 tq ∀x>x0, ∀D<0, g(x) inférieur à D.
∃x1 tq ∀x>x1, ∀C>0, f(x)>C.
D'où :
∃x2=max(x0,x1) tq ∀x>x2, ∀C>0, ∀D<0, f(x)*g(x) inférieur à C*D.
⇔∃x2 tq ∀x>x2, ∀E<0, f(x)*g(x) inférieur à E.
⇔lim [f(x)*g(x)]=-∞
modifié par : WIWIWI, 08 Nov 2007 - 14:53
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