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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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moyenne arithmético-géométrique

- classé dans : Arithmétique

Envoyé: 30.10.2007, 21:19

Constellation


enregistré depuis: sept.. 2006
Messages: 44

Status: hors ligne
dernière visite: 31.10.07
Bonjour, je bloque sur ce problème:

a et b désignent deux réels tels que 0<a<b

Introduction:

A) g=√(ab) est leur moyenne géométrique
m=(a+b)/2 est leur moyenne arithmétique

Démontrer que a < g < m < b


B) (an) et (bn) sont deux suites définies par :
a0=a et pour tout n de N, an+1 = √anbn
b0=b et pour n de N, bn+1 = (an + bn)/2

1)a) expliquer pourquoi pour tout n de N, an≤bn
b) déduire de la question A que la suite (an) est croissante et que la suite (bn) est décroissante.

c)Déduire de la question A que
bn + an - 2√(anbn) < bn - an

puis que

bn+1 - an+1 ≤ (bn - an)/ 2n

d) En déduire que pour tout entier naturel n,
bn - an ≤ (b-a)/2n

En déduire que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.

J'ai réussi a faire la partie A puis pour le B, je pense avoir à peu près réussi le a) et b) puis ensuite je n'arrive pas aux inégalités que l'on veut trouver

Merci de votre aide
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Envoyé: 31.10.2007, 02:32

Modérateur
kanial

enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1728

Status: hors ligne
dernière visite: 09.09.15
salut scarlett,
le grand classique de la TS ...
pour la question c), tu sais que (an) est croissante, en écrivant ce que ça implique et en bidouillant un peu l'inégalité tu devrais aboutir. quant à la deuxième inégalité (je suppose que la puissance n sur le 2 est en trop) il te suffit d'écrire ce que valent an+1
et bn+1.
Pour la d), une récurrence est envisageable...


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 31.10.2007, 14:19

Constellation


enregistré depuis: sept.. 2006
Messages: 44

Status: hors ligne
dernière visite: 31.10.07
oui en effet le puissance n est de trop.

pour les deux inégalités, j'ai prouvé que si on soustrait les deux termes on obtient un nombre négatif. Est-ce que ça va si je le prouve comme ça?


Après j'ai une autre question
2) Avec une calculatrice, donner un encadrement d'amplitude inférieure a 10-5 de la limite commune l aux deux limites (an) et (bn) dans chacun des cas suivants:

a) a=1 et b=2
b) a=1 et b=10
c) a=2 et b=8
d) a=0 et b=1000


Je ne comprend pas pourquoi on me demande un encadrement parce-que quand je tape les deux suites et et a0 et b0 je trouve une limite mais pas un encadrement de cette limite.
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