moyenne arithmético-géométrique


  • S

    Bonjour, je bloque sur ce problème:

    a et b désignent deux réels tels que 0<a<b

    Introduction:

    A) g=√(ab) est leur moyenne géométrique
    m=(a+b)/2 est leur moyenne arithmétique

    Démontrer que a < g < m < b

    B) (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) sont deux suites définies par :
    a0a_0a0=a et pour tout n de N, an+1a_{n+1}an+1 = √aaanbnb_nbn
    b0b_0b0=b et pour n de N, b</em>n+1b</em>{n+1}b</em>n+1 = (an(a_n(an + bnb_nbn)/2

    1)a) expliquer pourquoi pour tout n de N, ana_nanbnb_nbn
    b) déduire de la question A que la suite (an(a_n(an) est croissante et que la suite (bn(b_n(bn) est décroissante.

    c)Déduire de la question A que
    bnb_nbn + ana_nan - 2√(a(a(a_nbnb_nbn) < bnb_nbn - ana_nan

    puis que

    bn+1b_{n+1}bn+1 - an+1a_{n+1}an+1(bn(b_n(bn - ana_nan)/ 2n2^n2n

    d) En déduire que pour tout entier naturel n,
    bnb_nbn - ana_nan(b−a)/2n(b-a)/2^n(ba)/2n

    En déduire que les suites (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) sont adjacentes.

    J'ai réussi a faire la partie A puis pour le B, je pense avoir à peu près réussi le a) et b) puis ensuite je n'arrive pas aux inégalités que l'on veut trouver

    Merci de votre aide


  • kanial
    Modérateurs

    salut scarlett,
    le grand classique de la TS ...
    pour la question c), tu sais que (an(a_n(an) est croissante, en écrivant ce que ça implique et en bidouillant un peu l'inégalité tu devrais aboutir. quant à la deuxième inégalité (je suppose que la puissance n sur le 2 est en trop) il te suffit d'écrire ce que valent an+1a_{n+1}an+1
    et bn+1b_{n+1}bn+1.
    Pour la d), une récurrence est envisageable...


  • S

    oui en effet le puissance n est de trop.

    pour les deux inégalités, j'ai prouvé que si on soustrait les deux termes on obtient un nombre négatif. Est-ce que ça va si je le prouve comme ça?

    Après j'ai une autre question
    2) Avec une calculatrice, donner un encadrement d'amplitude inférieure a 10−510^{-5}105 de la limite commune l aux deux limites (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) dans chacun des cas suivants:

    a) a=1 et b=2
    b) a=1 et b=10
    c) a=2 et b=8
    d) a=0 et b=1000

    Je ne comprend pas pourquoi on me demande un encadrement parce-que quand je tape les deux suites et et a0a_0a0 et b0b_0b0 je trouve une limite mais pas un encadrement de cette limite.


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