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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Récurrence Ts

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 12.09.2005, 15:43



enregistré depuis: sept.. 2005
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dernière visite: 23.12.05
Bonjour,
soit x un réel
Pour tout entier naturel n>ou=1 on pose Cn=cosx+cos3x+....+cos(2n-1)x

1)exprimer sinacosb en fonction de sin (a+b) et sin (a-b)
cela fait (sin(a+b)+sin(a-b))/2

2)transformer en somme sinxcos(2n+1)x (sous entendu voir 1)
cela fait sin(2nx+2x)+sin(-2nx)+(-sin(2nx+2x)-sin(-2nx))/2
ou plus simple en faisant cette division (sin(2nx+2x)+sin(-2nx))/2
car diviser par 2 revient à enlever la moitié mais ceci est plus compliqué.

3)démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1 et pour tout x différent de kPi (k € Z)
Cn=cosnx((sin nx)/(sinx))
et c'est la que ça se complique

Je pense qu'il faut initialiser avec n=1 puis montrer l'hérédité avec n+1 mais je ne sais pas trop comment faire. Merci de m'aider.
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Envoyé: 12.09.2005, 18:16

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Bonjour vicoleboss.

1) et 2) semblent justes, n'est-ce pas.

Pour 3) :

a) La récurrence est fondée.

b) C(n+1)=cosx+cos3x+....+cos[(2n-1)x]+cos[(2n+1)x]
devient par hypothèse de récurrence
C(n+1)=cos(nx)sin(nx)/sinx + cos[(2n+1)x].

c) Mets au même dénominateur.

d) transforme chaque produit de sin et cos avec ce que tu as fait à la question 1).

e) Tu dois obtenir
sin[2(n+1)x] / (2sinx).

f) une formule de trigo classique permet enfin d'aboutir à
C(n+1)=sin[(n+1)x]cos[(n+1)x] / sinx,
ce qui montre l'hérédité, comme tu dis.

J'espère que ça ira.

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Envoyé: 12.09.2005, 18:22



enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 7

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dernière visite: 23.12.05
merci je vais regarder
les 2 premiers sont justes enfin j'espere icon_smile
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Envoyé: 12.09.2005, 18:27

Cosmos
flight

enregistré depuis: févr.. 2005
Messages: 528

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dernière visite: 21.11.10
une autre idée en plus de la reccurence sur N est de penser à la formule suivante :

cosX=(e^ix+e^-ix)/2 poser X=(2k-1)x puis ecrire

Cn=SOM(cos(2k-1)x)=1/2.SOM(e^i(2k-1)-e^i(2k-1)x) pour k compris entre 1 et n. (puis prendre la partie réelle du résultat)

il restera à caluler les sommes d'exponentielles , c'est pas difficile.

puis tu obtiendra par cette 2 ieme voie le resultat demandé, vu que la reccurence n'est pas formellement imposée dans l'exercice.





flight721
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Envoyé: 12.09.2005, 18:31

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
En fait tu peux faire plus simple pour la rédaction de la 2).
Il suffit de prendre les bons a et b dans
sina cosb = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2
pour avoir directement
sinxcos[(2n+1)x]
sous une forme plus commode.
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Envoyé: 12.09.2005, 18:52

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Vicoleboss :
tu as un "message privé" ; clique sur le 1 à côté de ton pseudo dans la liste des membres en ligne, merci.
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Envoyé: 12.09.2005, 18:55



enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 7

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dernière visite: 23.12.05
je nai pas vu de message privée
le e) je trouve sin x pour denominateur
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Envoyé: 12.09.2005, 19:01

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Mets-toi en plein écran alors, et tu verras le "1", bien à droite de ton nom.
Pour le e), je maintiens ce que j'ai écrit : c'est la division par 2 dans la formule de sina cosb (sinon, tu auras un pb pour finir la récurrence).
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