Défis : Etude de la dérivabilité d'une fonction en un réel !

Bonjour, j'ai un Dm avec un exercice "défis" et à vrai dire j'y comprends pas grand chose.

g est définie sur ]0; + ∞ [ par g(t) = (1 - $e^{-t}$ ) / t.
1.Limites de g en 0 et + ∞.

2.φ définie sur $mathbb{R}$ par φ(t) = $e^t$ - 1 - t .
a.Variations de φ.
b.Démontrer que pour tout réel t : 1 + t ≤ e $^t$ (1)

3.a.Calculer g'(t) pour t strictement positif.
b. A l'aide de l'inégalité (1), déterminer le sens de variation de g.

h définie sur [0; + ∞ [ par h(t) = 1 - t + (t²/2) - e $^{-t}$ .
a.Calculer pour t ≥ 0 , h'(t) et h''(t) ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).
b.Déduire que pour tout réel t ≥0, h(t) ≥ 0 (2)
k définie sur [0; + ∞ [ par k(t) = $t^3$ / 6 ) - h(t).
a.Calculer pour t ≥ 0 , k'(t) et k''(t).
b.Démontrer à l'aide de (1) que pour tout réel t ≥0 , k''(t) ≥0
c.Donner les valeurs de k'(0) et k(0) . En déduire que pour tout réel t ≥ 0 , k(t) ≥0 (3)

6.Déduire des inégalités (2) et (3) un encadrement de (1 - e $^{-t}$ - t ) / t² pour t > 0.

f définie sur [0; + ∞[ par f(t) = g(t) si t > 0 et f(0) = 1.
a.Démontrer à l'aide de la question précédente que f est dérivable en 0 et que f'(0) = -1/2

Voilà, alors je ne comprends presque rien.
Tout ce que j'ai réussi à faire c'est :

g(t) = (1 - e $^{-t}$ ) / t = $e^t$ - 1) / t $e^t$
Donc lim (t→0) $e^t$ - 1 = + ∞
lim (t→0) t $e^t$ = + ∞
Mais ca fait une fome indéterminé, et je trouve les mêmes limites pour + ∞ alors c'est pas logique.
a. φ (t) = $e^t$ - 1 - t
φ'(t) = $e^t$ - 1 qui s'annule en 0 et qui sur ] - ∞; o] est négatif et sur [0; + ∞[ est positif.
Donc φ est décroissante sur ] - ∞; o] et croissante sur [0; + ∞[.

C'est tout ce que j'ai fait.
Pourriez vous m'aider ? Merci d'avance

Bonjour,
1.

$\frac{e^t -1}{te^t} = \frac{1}{e^t}\times \frac{e^t -1}{t}$

Regarde maintenant dans ton cours et tu devrais reconnaitre des limites que tu dois apprendre.

Pour la limite en $+∞{+}\infty$ ne change pas la forme de la fonction.

Merci
donc lim g(t) (t→0) = 1
et lim g(t) (t→+∞) = + ∞
Merci.

Non lim g(t) (t→ +∞ ) = 0

ok c'est bon
pour la suite
2/
a / il faut aussi trouver les limites de φ aux bornes de son ensemble de définition
prouver que 1 + t ≤ $e^t$ ⇔ 0 ≤ $e^t$ - 1 - t
regarde ce que tu as fait à la question a/

2.a. φ(t) = $e^t$ -1 - t
φ'(t) = $e^t$ - 1
$e^t$ - 1 = 0 ⇔ t = 0
Donc φ est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
φ(0) = 0
lim φ (t→-∞ ) = +∞ et lim φ (t→+∞ ) = ?

b. φ(t) ≥ 0 d'après les variations de φ .
Donc $e^t$ - 1 - t ≥0
Donc $e^t$ ≥ 1+t

3.a g(t) = (1 - $e^t$ ) / t
Donc g'(t) = ( $e^{-t}$ (t+1) -1) / t²

b. 1+t ≤ $e^t$ ⇔ $1+t)/e^t$ ≤ 1
Donc (1+t) / $e^t$ - 1 ≤ 0
Donc g' est négatif .
Donc g est décroissante sur [0;+∞[ avec lim g (t→0) = 1 et lim g (t→+∞)=0

4.a. h(t) = 1 -t + (t²/2) - $e^{-t}$
h'(t) = -1 + t + $e^{-t}$
h''(t) = 1 + $e^{-t}$

h(0) = 0 et h'(0) = 0

b. Pour tout t ≥0,
h'' est positive donc croissante sur [0;+∞[
h' est donc positive sur [0;+∞[
Donc h est croissante sur [0;+∞[

h''= 1 + $1/e^t$ )
Donc $1/e^t$ ≥ 0
Donc $1/e^t$ ) + 1 ≥ 0

Mais là ce n'est pas logique, donc je pense que le tableau de variation peut suffire à lui seul non ?

5.a.Pour t ≥0,
k(t) = $t^3$ /6) - h(t)
k'(t) = (3t²/6) + 1 - t - $e^{-t}$
k''(t) = (6t/6) - 1 + $e^{-t}$ = t - 1 + $e^{-t}$ = h'(t)

b. Prouver que k''(t) ≥ 0, je n'y arrive pas.

c. k'(0) = 0 et k(0) = 0
pour t ≥ 0 ,
Comme k(t) = $(t3/6)−h(t)Commeh(t)≥0etque(t3/6)≥0alorsk(t)≥0Apreˋsjen′yarrivepas,avezvousdesideˊesMaisest−cequecej′aifaitestbon?(t^{3/6) - h(t) Comme h(t) ≥ 0 et que (t3/6) ≥ 0 alors k(t) ≥ 0 Après je n'y arrive pas, avez vous des idées Mais est-ce que ce j'ai fait est bon ? }$

Salut rose,
ce que tu as fait semble a priori bon, pour le 4-a le tableau de variation suffit amplement.
Pour le 4-b, tu as déjà presque écrit la solution (relis bien ce que tu as écrit pour k'' et ce que tu as écrit en 4-a).
Pour la 4-c,
"Comme k(t) = (t^3)/6 - h(t)
Comme h(t) ≥ 0 et que (t^3)/6 ≥ 0 alors k(t) ≥ 0 ",

si tu écris ça, tu révolutionnes les maths puisqu'avec ton raisonnement on peut montrer que tout nombre négatif est en fait positif, il suffit d'écrire pour a<0 :
a=0-(-a) or 0≥0 et -a≥0 donc a≥0,
tu devrais plutôt utiliser le fait que k'' soit positif sur R+.
Pour la 7, reviens à la définition de la dérivée...

Oui!
h' est donc positive sur [0;+∞[
Donc h' ≥ 0 or k''(t) = h'(t) donc k''(t) ≥ 0
Mais dans l'exo c'est écrit qu'il faut démontrer que k''(t) ≥ 0 à l'aide de l'inégalité (1) cad 1 + t ≤ $e^t$

Par contre je n'ai pas compris ton raisonnement avec a .
Et qu'est ce que tu entends par "def de la dérivée" ?

Merci

pour le raisonnement avec a c'était juste pour extrapoler, l'important est que tu vois que ce que tu as écrit est totalement faux.
Pour la 4-c, on te demande en effet de la résoudre à l'aide de (1), demande -toi alors comment tu es arrivée au résultat : h'(t)≥0 sur R+.
Pour la définition de la dérivée, le nombre dérivé a bien été défini dans ton cours de maths (sinon tu utiliserais un outil sans savoir ce que c'est, ce qui est plutot embetant), comment a--t-il été défini ?

Et comment déduire pour la question 6 un encadrement de $1-e^{-t}$ - t ) / t² pour t > 0 . On doit encadrer ça par h(t) ≥ 0 et k(t) ≥0 ??

f est dérivable en a signifie que (f(a+h) - f(a)) / h admet une limite L quand h tend vers 0.
Nbre L = nbre dérivée de f en a, notée f'(a).

J'en ai déduit que h'(t)≥0 parce que h' est croissante sur R+ .
h'≥0 ⇔ $1+t+e^{-t}$ ≥ 0
⇔ -1+t ≥ $e^{-t}$
Mais l'inégalité (1) c'est 1+t ≤ $e^t$
Alors je comprens pas là.

Oui mais comment sais-tu que h'(=k'') est croissante sur R+ ?
Pour le nombre dérivé, comment peux-tu répondre à la question à partir de cette définition?

h' est croissante sur R+ car h'' est positive sur R+
Et h''(t) = 1 + e-t donc 1 + $e^{-t}$ ≥ 0
C'est tjr pas ça ?

Pour le nombre dérivé, je change a en 0. Et je m'aide de l'encadrement que je dois faire a la question 6 puisque c'est écrit a l'aide de la question précédente.

h' est croissante sur R+ car h'' est positive sur R+
Et h''(t) = 1 + e-t donc 1 + e-t ≥ 0
Tu l'as écris à l'envers ( ce serait pas plutot 1 + e-t ≥ 0 donc h'' est positive sur R+, mais bon .... c'est là quand même, en réecrivant la même chose (dans l'autre sens) et en remplaçant h' par k'' tu auras ta solution.
Quant à la dernière question tu as parfaitement compris le principe ... reste plus qu'à l'appliquer.

rose022
2
4.a. h(t) = 1 -t + (t²/2) - $e^{-t}$
h'(t) = -1 + t + $e^{-t}$
h''(t) = 1 + $e^{-t}$

personnellement je verrais plutôt
h''(t) = 1- $e^{-t}$