Voilà j'ai un petit problème avec un exercice sur les suites, j'espère que vous pourrez me donner un petit coup de main ;)
Voici les grandes lignes de l'énnoncé :
1) Le 1er janvier 1990, le prix d'un objet est P0. L'inflation est de 3 % par an à partir de 1990. Calculer le prix de P1 de cet objet au bout d'un an, P2 au bout de 2 ans et Pn au bout de n années.
Bon là je pense avoir réussi, je trouve une suite géométrique définit par :
Pn = P0 x (1.03)n
2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura t-il été multiplié par 2 ? Le temps nécessaire dépend-il du prix de départ P0 ?
J'ai dit que (1.03)n devait être supérieur à 2.
Donc grâce à la calculette je trouve que (1.03)n > 2 à partir du rang n = 24.
Et donc le temps nécessaire ne dépend pas de P0
3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de 3 % une année, -3 % la suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3% en 90, -3 % en 91, 3% en 92, -3 % en 93 ...)
Quel est le prix de l'objet en fonction de P0 au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? Calculer le prix de P2n au bout de 2n années.
Puis montrer que P2n < P0. Aurait-on P2n < P0 si les taux d'inflation et de désinflation étaient respectivement i% et -i% (0 < i < 100)
Calculer P2n+1 pour i=3
Bon là en prennant un exemple, on remarque que le prix de l'objet ne cesse de diminuer.
Donc en focntion de P0, au bout de 2 ans on a :
Prix de l'objet en 91 = (P0 x 1.03) x 0.97
Prix de l'objet en 93 = P0 x 1.03 x 0.97) x 1.03 x 0.97
soit 0.9991P0x 0.9991
Enfin ca reste assez flou cette formulation, nan ?
Enfin si je continue comme ça, P2n = P0 x 0.9991n
Voilà je voulais vous demandez si ma démarche et mes calculs sont exacts pour le moment, avant de ma lancer dans la suite moins évidente^^
Ok merci de ton avis. J'ai bossé la fin de l'exo cette aprème et voilà ce que ça me donne :
*Pour la question : Montrer que P2n< P0
Puis-je seulement dire que comme (0.9991)n< 1 (c'est toujours pour tout n de lN) , alors P2n qui vaut P0 x (0.9991)n est toujours inférieur à P0 ?
Ou alors dois-je passer obligatoirement par un raisonnement par récurrence ?
* Pour savoir si P2n < P0 avec 0< i <100, même question dois-je passer par une récurrence, ou puis-je juste dire que plus n est grand, et plus (0.9991)n est petit ?
* Enfin pour calculer P2n+1, je ne vois pas trop où je dois en venir... Je dois juste dire que P2n+1 = P0 x (0.9991)n+1 nan ?
