Montrer qu'une suite converge et trouver son expression à l'aide d'une suite intermédiaire
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Cchrisf dernière édition par Hind
Bonjour, j'ai un probleme a un exercice !
l'énoncé:
soit la suite de terme général Un avec n € N* definie par :U1 = 1/2
U(n+1) = ((n+1) / (2n)) x Un1)Calculer U2 U3 et U4.
2) Montrer que pour tout entier naturel non nul :
0≤U(n+1)≤Unen deduire que la suite converge.
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Montrer que la suite de terme general Vn definie par :
Vn = Un / n
est une suite geometrique dont on determinera la raison et le 1er terme.
En deduire lim Vn quand n tend vers x -
Deduire Un en fonction de n.
La question 1 est faite mais je bloque sur les autres ...
si quelqu'un peut m'aider merci !
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Salut chrisf,
Tu as une suite définie par récurrence, à mon avis pour prouver des propriétés de cette suite telles que celles demandées en 2), il est de bon ton d'essayer une récurrence...
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Cchrisf dernière édition par
je dois alors faire 2 recurrences ?
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Tu dois pouvoir montrer les deux propriétés en même temps, mais si tu crains de t'emmêler les pinceaux tu peux très bien le faire en 2 fois.
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Cchrisf dernière édition par
mais j'ai juste le problème de qu'est ce qui faut marquer au début de la récurrence j'ai un probleme pour prouver Un.
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Essaie de t'exprimer plus clairement, ton message n'est pas très compréhensible, si tu as un problème dans l'initialisation, quel est-il qu'est-ce qui te bloque exactement?
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Je pense que dans ce cas, Un+1U_{n+1}Un+1 ≤ UnU_nUn
il n'est pas nécessaire de se lancer dans une récurrence.
Etudier le signe de Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn pour n > 0 est plus rapide.
Pour 0 < Un+1U_{n+1}Un+1 la récurrence est évidente.
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Cchrisf dernière édition par
pour la recurrence j'étais bloqué a l'initialisation ...
je vais essayé de faire Un+1 - Un comme Zorro me l'indique si j'y arrive plus facilement
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C'est vrai que la méthode de zorro paraît plus simple, je me suis un peu compliqué, désolé :rolling_eyes: , mais pour l'initialisation il n'y avait pas de difficultés : juste appliquer calculer chaque membre pour n=1 et vérifier les inégalités.
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Cchrisf dernière édition par
petite question bete mais Un est egal a quoi ?
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On ne le sait pas, l'objectif de l'exercice est justement de pouvoir ecrire Un en fonction de n.
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En fait je suis allée un peu vite dans ma dernière intervention. Il faut bien faire 1 récurrence pour montrer que pour tout n de $$mathbb{N}$^*$ UnU_nUn > 0
Initialisation pour n = 1 .....
Ensuite on suppose que UnU_nUn > 0
et avec la défintion de Un+1U_{n+1}Un+1 on en déduit que Un+1U_{n+1}Un+1 > 0Pour montrer que Un+1U_{n+1}Un+1 ≤ UnU_nUn on étudie le signe de Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn
en utilisant le fait que UnU_nUn > 0
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Cchrisf dernière édition par
merci Zorro je vais faire ca
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Cchrisf dernière édition par
merci Zorro je vais faire ca