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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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problème de synthèse de spé sur les congruences

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 04.10.2007, 21:32

Constellation


enregistré depuis: sept.. 2006
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Bonjour, j'ai un problème à résoudre et je ne comprend pas la première question car je ne sais pas ce qu'est E, pourriez-vous m'aider à avancer dans mon exercice.


On se propose de trouver le jour de la semaine associé à une date donnée. Pour cela, on utilise le calendrier depuis le 20 décembre 1582.
On rapelle que le mois de février compte 29 ou 28 jours, selon que l'année est bissextile ou non. Une année est bissextile lorsque son millésime A est un multiple de 400 ou lorsque A est un multiple de 4 sans être un pultiple de 100 (ainsi 1900 n'est pas bissextile).

1. a et b désignent deux entiers naturels avec b≠0. q est le quotient de la division euclidienne de a par b.

Démontrer que q= E(a/b).

2. On note B le nombre d'années bissextiles qui ont précédé strictement l'année A depuis la date fictive du 1er janvier de l'an 1. (qui va nous servir d'origine des dates).

a) Démontrer que:

B= E((A-1)/4) - E((A-1)/100) + E((A-1)/400).

b) Démontrer que le nombre N de jours dans les années qui précèdent l'année A est donné par:
N= B +365(A-1).

c) On note (J ; M ; A) une date : J entre 1 et 31, M entre 1 et 12, A l'année (avec A≥1582)

Comment calculer le nombre R de jours entre les dates (1 ; 1 ; A) et (J ; M ; A) (ces deux jours compris) ?

d) Le nombre N de jours entre les dates (1 ; 1 ; 1) et (J ; M ; A) est donc : N=R+B+365(A-1)

Vérifier que N≡ A - 1 + B + R [7].

e) En sachant que le 1er janvier 2003 est un mercredi, vérifier que le nombre N associé à mercredi vérifie: N≡3[7].

3. a) Quel jour de la semaine était le 14 juillet 1789?
b) L'acte V de Cyrano de Bergerac se déroule en septembre 1655. Edmond Rostand écrit: "Et samedi 26, une heure avant dîner, Monsieur de Bergerac est mort assassiné." Le 26 septembre 1655 était-il un samedi?

Merci pour votre aide

modifié par : scarlett, 04 Oct 2007 - 21:41
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Envoyé: 04.10.2007, 21:56

Cosmos
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Bonjour,

Inspire toi <a href="http://www.mathforu.com/sujet-4088.html" title=" de se sujet
" target="_blank"> de se sujet



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Envoyé: 05.10.2007, 18:07

Constellation


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merci, ce sujet m'a aidé à comprendre le sens global du problème.
Par contre pour la première question, je ne comprend pas trop ce que je dois faire pour prouver la formule même si ça parait être une évidence.

Je peut dire a= bq + r puis après...

modifié par : scarlett, 05 Oct 2007 - 18:07
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Envoyé: 05.10.2007, 19:08

Constellation


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pour la première question est-ce que ça va si j'écris:

a=bq + r
a/b = q + r/b avec 0≤r<b
d'où q ≤ a/b < q+1
donc q= E(a/b)

Pour la 2b), est-ce que je peux écrire

Il y a (A-1) années qui précèdent l'année A et chaqque année compte 365 jours sauf les années bissextiles qui comptent un jour de plus donc pour B années bissextiles, il y a 1xB soit B jours de plus q'une année normale donc N = B + 365(A-1).

Est-ce que je pourrais avoir une indication sur la question 2d) s'il vous plait?

modifié par : scarlett, 05 Oct 2007 - 19:08
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Envoyé: 05.10.2007, 19:58

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Salut Scarlett,
ce que tu as écrit est bon (il manque quelques arguments mais la trame est bien là.
Pour la 2-d), ce que tu veux faire disparaître est le 365, comment pourrais-tu le simplifier dans une congruence modulo 7 ?


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 05.10.2007, 20:57

Constellation


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d) 365= 52x 7 +1
donc 365≡1(7)
365(A-1) + R + B≡ 1(A-1) + R + B (7)
...

e) Pour la e, est-ce qu'il suffit de remplacer A par 2003... pour arriver à 2488= 7 x 355 + 3
donc N≡3(7) ?

Pour la question 3a), je trouve N≡2(7) mais je ne sais pas comment expliquer que 2 correspond à mardi.

Pour la 3b) je trouve N≡0(7) et je ne sais même pas à quel jour ça correspond

modifié par : scarlett, 05 Oct 2007 - 20:58
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Envoyé: 05.10.2007, 22:42

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kanial

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Pour la e) c'est ça, quant aux questions de la partie 3), il faut bien que tu comprennes ce que tu es en train de manipuler : en fait ce qu'on t'a fait faire, c'est numéroter les jours à partir d'une date donnée, c'est-à-dire que maintenant à chaque jour de l'histoire tu peux associer un numéro. Maintenant que tu as cet outil, comment tu ferais toi pour savoir, par exemple, quel jour de la semaine tu es né (née?) ? Essaie d'y réflechir et de voir comment les congruences peuvent t'y aider...


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Envoyé: 06.10.2007, 11:53

Constellation


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Je comprend que le numéro 3 correspond à mercredi donc si je trouve pour le 14 juillet 1789 N≡2(7), ça correspond à un mardi mais est-ce que les questions d'avant m'ont permis de le justifier ou est-ce qu'il faut que je prouve que le numéro 2 correspond à mardi?
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Envoyé: 06.10.2007, 14:07

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kanial

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Le prouver paraît difficile mais il faut que tu l'expliques et le justifies. As-tu trouvé à quoi correspond le 0?


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Envoyé: 06.10.2007, 15:54

Constellation


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Je pense que le 0 correspond au dimanche mais je ne vois pas comment expliquer pourquoi 2 et 0 correspondent à mardi et dimanche.
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Envoyé: 07.10.2007, 20:45

Constellation


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quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?
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Envoyé: 10.10.2007, 13:38

Constellation


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Je n'y arrive vraiment pas, est-ce que vous pourriez m'aider
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Envoyé: 12.10.2007, 21:54

Constellation


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dernière visite: 31.10.07
Je sais que ça ne va pas vous plaire mais je suis obligée de vous redemander de l'aide car ça fait 6 jours que plus personne ne me répond.
Top 
Envoyé: 12.10.2007, 22:18

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kanial

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resalut scarlett,
effectivement tu manques de réponse, pour expliquer le rapport entre 0 et dimanche par exemple il faut que tu expliques pourquoi le 0 tombera toujours sur le dimanche et pas sur le jeudi, je pense que tu l'as compris, alors après il n'y a plus de formules mathématiques tu dois juste t'exprimer clairement pour expliquer comment cela fonctionne.


L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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Envoyé: 12.10.2007, 22:31

Constellation


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dernière visite: 31.10.07
ok merci
J'ai juste une dernière question pour la 2a) je comprend à peu près mais je ne sais pas comment expliquer qu'il faut utiliser la fonction E
Top 
Envoyé: 12.10.2007, 22:35

Modérateur
kanial

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dernière visite: 09.09.15
En fait je pense que là tu peux partir de la formule qu'on te donne pour prouver qu'il s'agit du nombre d'années bissextiles.


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Envoyé: 12.10.2007, 22:39

Constellation


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je vais essayer ça merci
Top 
Envoyé: 13.10.2007, 08:07

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Thierry

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dernière visite: 20.07.16
scarlett
Je sais que ça ne va pas vous plaire mais je suis obligée de vous redemander de l'aide car ça fait 6 jours que plus personne ne me répond.
Pas de soucis scarlett. Sinon les discussions qui ne sont pas remontées à la surface sont oubliées. Faire un "up" est la bonne méthode.
Raycage vient en général le vendredi. chut!


Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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