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Racine :: Vie du site et de ses membres :: Vie du site :: Math-fiche - Racine carrée de 2 est irrationnel

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	Math-fiche - Racine carrée de 2 est irrationnel

Zorro	Envoyé: 30.09.2007, 22:49
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 8714 Status: hors ligne dernière visite: 19.06.10	Le but de cette fiche est de démontrer que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est irrationnel. Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration : Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que $a\,=\,2\, \times \, b\, =\, 2b$ Si $a\,=\, 2b$ , alors $a^2\, =\, (2b)^2\, =\,4b^2\, =\, 2\, \times \,(2b^2)\, =\,2M$ avec $M \,=\, 2b^2$ or $b \, \in \, \mathbb {N}$ donc $2b^2 \, \in \, \mathbb {N}$ ; Il existe donc bien un entier M tel $a^2\, =\,2M$ . On arrive bien à la conclusion : Donc si a est pair alors a² est pair Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire $a\,=\, 2b\, +1$ alors $a^2\, =\, (2b\,+\,1)^2\, =\,4b^2\,+\,4b\,+\,1=\, 2\, \times \,(2b^2\,+\,2b)\,+\,1\, =\,2N\,+\, 1$ avec $N\, =\,2b^2\,+\,2b$ qui est bien un entier Donc si a est impair alors a² est impair Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que a est pair si et seulement si a² est pair Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration. La démonstration de l'irrationalité de $\,\sqrt{\,2\,}\,$ se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est un irrationnel. On suppose que $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est rationnel Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que $\,\sqrt{\,2\,}\,=\,\frac{\,p\,}{q}$ et la fraction $\,\frac{\,p\,}{q}\,$ est irréductible $\,\sqrt{\,2\,}\,=\,\frac{\,p\,}{q}$ donc $\,(\sqrt{\,2\,})^2\,=\,(\frac{\,p\,}{q})^2\,=\,\frac{\,p^2\,}{q^2}$ donc $\,2\,=\,\frac{\,p^2\,}{q^2}$ donc $p^2\,=\,2q^2$ donc $p^2\,$ est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif $p'\,$ tel que $p\,=\,2p'\,$ donc $p^2\,=\,4p'^2\,$ or $p^2\,=\,2q^2\,$ donc $2q^2\,=\,4p'^2\,$ donc $q^2\,=\,2p'^2\,$ donc q est pair donc il existe un nombre relatif $q'\,$ tel que $q\,=\,2q'\,$ donc la fraction $\frac{\,p\,}{q}\,=\,\frac{\,2p'\,}{2q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est rationnel. Donc $\,\sqrt{\,2\,}\,$ est irrationnel. Lien vers l'Article


Thierry	Envoyé: 30.09.2007, 22:52
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 2603 Status: hors ligne dernière visite: 06.07.10	C'est une excellente idée cette fiche ! Merci. Thierry Prof de math à Paris.

Zauctore	Envoyé: 01.10.2007, 08:10
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 6883 Status: hors ligne dernière visite: 01.09.10	Pour sûr ! Maintenant, il reste à en faire une pour 3, etc. C'est d'ailleurs intéressant.

Thierry	Envoyé: 01.10.2007, 09:06
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 2603 Status: hors ligne dernière visite: 06.07.10	Tiens oui je n'avais pas pensé que c'était faisable. Pour √3 : Si p≡0[3] alors p²≡0[3] Si p≡1[3] alors p²≡1[3] Si p≡2[3] alors p²≡1[3] Donc si p² est un multiple de 3 alors p l'est aussi. Une fois qu'on a établi ce résultat, le reste de la démonstration de "√3 est un irrationnel" peut se faire par l'absurde selon le même principe que pour √2. On arrive aussi à la conclusion absurde : p/q n'est pas irréductible. Maintenant c'est sûr qu'il faudrait détailler un peu plus pour qu'elle soit compréhensible par les secondes Telle que je l'ai décrite, elle est à la portée d'un TS spé math. Thierry Prof de math à Paris.

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