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Modéré par: Thierry
Fin 

Math-fiche - Racine carrée de 2 est irrationnel

Envoyé: 30.09.2007, 22:49

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
Le but de cette fiche est de démontrer que est irrationnel.



Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier.
Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que


Si , alors

avec or donc ;

Il existe donc bien un entier M tel . On arrive bien à la conclusion :

Donc si a est pair alors a2 est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire
alors

avec qui est bien un entier

Donc si a est impair alors a2 est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si a2 est pair

Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.


La démonstration de l'irrationalité de se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que est un irrationnel.

On suppose que est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que et la fraction est irréductible

donc



donc donc

donc est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif tel que

donc or

donc donc

donc q est pair donc il existe un nombre relatif tel que

donc la fraction n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était est rationnel.

Donc est irrationnel.



Lien vers l'Article

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Envoyé: 30.09.2007, 22:52

Webmaster
Thierry

enregistré depuis: juil.. 2004
Messages: 3135

Status: hors ligne
dernière visite: 20.07.16
C'est une excellente idée cette fiche ! Merci.


Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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Envoyé: 01.10.2007, 08:10

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Pour sûr !

Maintenant, il reste à en faire une pour racine3, etc.

C'est d'ailleurs intéressant.
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Envoyé: 01.10.2007, 09:06

Webmaster
Thierry

enregistré depuis: juil.. 2004
Messages: 3135

Status: hors ligne
dernière visite: 20.07.16
Tiens oui je n'avais pas pensé que c'était faisable.

Pour √3 :

Si p≡0[3] alors p²≡0[3]
Si p≡1[3] alors p²≡1[3]
Si p≡2[3] alors p²≡1[3]

Donc si p² est un multiple de 3 alors p l'est aussi.

Une fois qu'on a établi ce résultat, le reste de la démonstration de "√3 est un irrationnel" peut se faire par l'absurde selon le même principe que pour √2. On arrive aussi à la conclusion absurde : p/q n'est pas irréductible.

Maintenant c'est sûr qu'il faudrait détailler un peu plus pour qu'elle soit compréhensible par les secondes icon_redface
Telle que je l'ai décrite, elle est à la portée d'un TS spé math.



Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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