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fonction irrationnelle |
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xavier005
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Envoyé: 10.09.2005, 08:07
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Une étoile
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Bonjour, est ce que quelqun pourait m'aider pour l' exercice suiavant svp.
Soit (Un) la suite definie par la donnee de u0 et la relation de recurrence Un+1= f(Un) ou f est la fonction definie sur R par f(x)=  3x+1) -1
1)Resoudre l'equation f(x)=x. En deduire les limtes possibles de la suite (Un).
ma reponse:
3x+1)^(1/3) - 1 = x
(3x+1)^(1/3)=x+1
3x+1 = (x+1)^3=x^3+3x²+3x+1
x^3+3x²=0
x²(x+3)=0
x=0 x=-3
2)On considere les intervalles I=]- infini;-3[, J=[-3;0[ et K=[0;+infini[
a) Etudier le sens de variation de f.
ma reponse:
f ' (x) = 1/((3x+1)^(2/3)) , donc la fonction f est strictement croisannte .
b)En deduire que si Uo appartient a I alors Un appartient a I pour tout n appartenent a N. Demontrer un resultat analogue pour les intervalles J et K.
C'est a cette question que je bloque
Veuillez m' aider svp
merci beaucoup
xavier
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Zauctore
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Envoyé: 10.09.2005, 11:36
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Cosmos
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Salut xavier005.
A la 1re question, n'oublie pas les limites éventuelles de ta suite récurrente (ce sont les solutions de f(x)=x).
Tu as montré que f est croissante strictement sur chacun des intervalles, notamment sur I.
Supposons que x soit un élément de I.
C'est-à-dire x < -3.
La stricte croissance de f implique que f(x) < f(-3).
Or, que vaut f(-3) ? c'est -3, d'après 1). Dont f(x) est dans I.
Cela montre que tout nombre de I a son image par f dans I.
En particulier, si U(0) est dans I, alors U(1) = f(U(0)) sera aussi dans I.
Donc U(2) = f(U(1)) aussi, etc.
C'est une récurrence qui permet de montrer ça proprement.
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xavier005
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Envoyé: 11.09.2005, 07:52
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Une étoile
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dernière visite: 11.02.06
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e,
mon prof a rajoute la question suivante :
Resoudre l' inequation f(x)> x . En deuire que (un) est croissante sur Uo<-3 et decroissante sinon.
J' ai resoulus l' inequation et je touve comme solution: S=]- infini;-3]
Mais je vois pas trop quoi en deduire
merci
xavier
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Zauctore
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Envoyé: 11.09.2005, 13:59
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Cosmos
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dernière visite: 07.10.08
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hum.
si f(x) > x sur ]-inf/ ; -3[, alors avec U0 < -3, alors tu en déduis que U1 = f(U0) > U0, non ?
et ainsi de suite.
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xavier005
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Envoyé: 15.09.2005, 09:07
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Une étoile
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dernière visite: 11.02.06
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bonjour, est ce que quelqun pourait m' aider svp pour la question suivante:
comment on fait pour demontrer que quel que soit uo, la suite converge.
merci beaucoup
xavier
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