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devoir de maths sur les suites sous forme de somme et raisonnement par récurrence |
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Envoyé: 20.09.2007, 20:19
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Une étoile
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dernière visite: 27.09.07
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bonjour
J'ai un dm sur les suites,sur lequel j'ai longtemps travaillé au brouillon mais malheureusement ce que je trouve ne correspond pas à la logique du cours.
Chaque question dépend de la précédente et étant donné que je suis boquée dés la première...
Voici l'énoncé et quelques unes de mes réponses:
Ex1:
on pose pour n ≥1,Un= 1/1*2 + 1/2*3+...+1/n(n+1)
1.Ecrire l'expression de Un en utilisant le symbole ∑.Calculer U1,U2,U3 et montrer que la suite et croissante.
n
J'ai trouvé Un=∑1/k(k+1) mais je n'en suis pas sûre et pour le calcul des trois premiers termes ça donne
U1=1/2
U2=1/6 ou 1/4+1/6=5/12 ?
U3=1/6+1/9+1/12?
Montrer que la suite est croissante:
Il faut démontrer que Un+1-Un > 0 .
(Mais quelle est la vraie et la bonne expression de Un ?)
2.Montrer par récurrence que pr tout n≥1,Un=n/n+1
Je suppose que pour cela il faut faire l'initialisation avec Pn=n/n+1 et Po,et l'herédité,et la conclusion mais j'ai également besoin des réponses précédentes....
3.Pour toutk≥1,montrer l'égalité 1/k(k+1)=1/k-1/k+1 puis retrouver l'expression de Un en fonction de n.
(c'est cette expression même qui me conviendrait pr les questions précédentes.  )
Merci de me répondre dés que vous pouvez.
Merci d'avance.
k=1
modif : orthographe titre
modifié par : Thierry, 20 Sep 2007 - 20:29
sarahdreams
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Envoyé: 21.09.2007, 17:27
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
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dernière visite: 29.11.08
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Bonjour,
As-tu essayé de taper 1/1*2 sur une calculatrice ? Trouves-tu 1/2 ou 2 ?
Pour qu'on puisse bien comprendre la différence entre 1/n(n+1) et 1/(n(n+1)) il faut mettre les () qui s'imposent ...
En prenant la 2ème solution je dirais que
\,}})
Donc \,}}) le dernier terme de cette somme est pour k = n = 1
soit \,})
\,}}) le dernier terme de cette somme est pour k = n = 2
soit \,}\,+\, \frac{1}{\,2(2+1)\,})
A toi d'écrire 
modifié par : Zorro, 21 Sep 2007 - 17:29
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Envoyé: 21.09.2007, 17:32
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
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dernière visite: 29.11.08
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Pour montrer que (Un) est une suite croissante, il faut étudier le signe de Un+1 - Un
modifié par : Zorro, 21 Sep 2007 - 17:33
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Envoyé: 22.09.2007, 17:50
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Voie lactée
enregistré depuis: nov. 2006
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dernière visite: 23.09.07
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Exercice 2 - Récurrence.
∀ n ≥ 1 on a 
*Au rang n = 1 : }=\frac{1}{2})
et  ...Ok rang 1
*Au rang p on a : }) (1)
et on suppose :  (2)
Vérifions si l hypothese est vrai au rang p+1 ⇒ 
Avec (1) ca nous donne en developant :
}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)})
}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)})
(p+2)})
Avec 2 ca nous donne :
(p+2)}\\=\frac{p(p+2)+1}{(p+1)(p+2)\\=\frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)}\\=\frac{p+1}{p+2})
Si la relation est vrai au rang p+1 elle l est au rang n
On a bien : ∀ n ≥ 1 on a
Pouvez vous me dire si la récurence est bonne svp.
Merci
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