Tracer la courbe d'une fonction, étudier ses variations et extremums

Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je suis bloqué.

Exercice:

On considère dans le repère orthonormal (O;i;j) ci-dessus la droite D

Déterminer une equation de la droite D
Soit P un point de D d'abscisse x, x étant un nombre réel quelconque.

On note d la fonction qui à x associe d(x) = OP². Montrer que d(x)= 2(x + 1/2)² + 1/2

a) tracer la courbe . Conjecturer pour quelle valeur x0 la fonction d semble admettre un minimum.
b) Etudier les variations de la fonction d sur ]-00 ; x0] et sur [x0 ; +00[. Valider alors la conjecture précedente.
a) Factoriser l'expression (x + 1/2)² - 9/4 et en deduire les solutions de (x+ 1/2)² - 9/4 > 0
b) Quel est l'ensemble des points P de D tels que OP > racine carée de 5 ? (on utilisera la question précédente).

Merci de votre aide.

Mes réponse:

Le coefficient directeur est 1 et l'ordonnée à l'origine est 1
donc D= 1x + 1
Je ne vois vraiment pas comment faire.

Bonjour et bienvenue sur de forum,

As-tu placé un point P sur la droite (D) ? Quelles sont ses coordonnées ?

Il n'y aurait pas une formule vue en 3ème qui donne $OP^2$ quand on connait les coordonnées de O et de P ?

on ne peut pas donner ses coordonnées car P est un point d'abscisse x ce qui peut etre tous les nombres réels.

Oui mais

si P a pour abscisse x et appartient à la droite (D),

si y = x + 1 est une équation de (D)

quelle est l'ordonnée de P ?

L'ordonnée de P est x + 1

Bin oui ! donc tu connais les coordonnée de O et de P

c'est exacte O (0;0) et P (x;x+1)

et alors $OP^2$ = ??

quelle est la formule s'il te plait?

C'est une formule vue en 3ème dont tu auras besoin tant que tu feras des maths au lycée :

Si le point A a pour coordonnées $(xa;ya)\normalsize (x_a ; y_a)$ et B $(xb;yb)\normalsize (x_b ; y_b)$
alors $\normalsize \sqrt{(x_b -x_a)^2 +( y_b-y_a) ^2}$

Donc OP² = x² + (x+1)²

Or quand je developpe OP² cela donne 2x² +1+2x
et d(x)= 2(x + 1/2)² + 1/2 = 2x² + 1

tu n'aurais pas fait (x + $1/2)^2$ serait $x^2$ + 1/4

faudrais peut-être ne pas oublier les identités remarquables vues en 3ème !!!

c'est bon j'ai trouvé
En fait je n'avait pas utilisé l'identité remarquable pour devellopper d(x)

merci de ton aide.

Pour la 3)a), j'ai conjecturer que la fonction admet un minimum en -0.5.

3)b)
J'ai fait a < b <-0.5 par etapes succesives et j'ai trouvée
2(a+ (1/2))² + 1/2 > 2(b + (1/2))² + 1/2 > 0.5

J'en conclue que le fonction est décroissante ]-oo; -0.5]

J'ai fait le meme raisonnement pour ]-0.5;+oo[ et la fonction est croissante.

Conclusion: la fonction admet bien un minimum égale à -0.5

Pour la 4)a)

J'ai factoriser (x+1)² - 9/4 avec l'identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b) avec a² = (x+1)² et b² = (3/2)²

Ce qui donne (x-1)(x+2) puis je fait un tableau de signe et la
S = ]- oo; -2[ U ] 1 ; +oo[

Ensuite je ne trouve pas la reponse à la question 4.b)

Jusqu'à présent tu as tout juste

pour la suite :

2(x + 1/2)² + 1/2 > √5 ⇔ 2(x + 1/2)² + 1/2 - √5 > 0

etc ...

en devellopant je trouve 2x² + 1 + 2x - √5 > 0 mais après je reste bloquée

Bonjour,

n'oublis pas que d(x) = OP²
et que l'on cherche OP > √5
donc ... OP² > ....... ???

désolé mais je ne comprend pas

OP > √5 <=> OP² > 5
Attention tu ne peux pas élever au carré tout le temps mais ici tu as le droit car ce sont deux élements positifs ou nuls : une racine et une distance...
bon donc maintenant résouds l'inéquation OP² > 5

J'ai trouvé en developpant 2x² - 4 + 2x > 0 mais est-ce sa l'ensemble des points P et D (car je ne comprend pas la question)?

Merci de votre aide

Que veut dire la question "Quel est l'ensemble des points P de D tels que OP > racine carée de 5 " car je ne comprend pas ce qu'il faut faire.

Merci de votre aide