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Envoyé: 13.09.2007, 20:50
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Voie lactée
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bonjour, je viens juste de voir en cours le raisonnement par récurrence et c'est encore assez flou pour le moment... J'ai un exercice à faire, voici ce que j'ai fait:
(Vn) est la suite définie par Vo=2 et pour tout entier naturel n, Vn+1 = Vn²+2 / 2Vn
a) démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, Vn> √2
..............................................................................................................
--> P(n): Vn >√2
1ère étape: P(0) est-elle vraie?
Vo=2
n=0
donc Vo >√2
2 > √2
ainsi P(0) est vraie
2ème étape: Hypothèse par récurrence
Supposons que P(k) est vraie
Vk > √2
Vk² > (√2)²
Vk² +2 > 2 +2
(Vk² + 2) / 2Vk > 4 / 2vk
(Vk² +2) / 2Vk > 2 /Vk
ainsi pour tout entier naturel n, Vn > √2
..................................................................................................................
Avant de passer à la suite j'aimerais savoir ce que vous penser de ce que j'ai fait
Merci beaucoup pour votre aide!
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Envoyé: 13.09.2007, 20:56
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Bonjour,
il y a une ambiguité dans ton énoncé
^2\,+\,2 \,}{2V_n} )
ou autre chose ?
Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.
modifié par : Zorro, 13 Sep 2007 - 20:58
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Envoyé: 13.09.2007, 20:58
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Voie lactée
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c'est bien ce que vous avez marqué
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Envoyé: 13.09.2007, 21:06
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Bin tu arrives à (Vk2 +2) / 2Vk > 2 /Vk
donc Vk+1 > 2 /Vk et non ce qu'il faudrait Vk+1 > √2
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Envoyé: 13.09.2007, 21:14
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Voie lactée
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il ne fallait pas faire comme ça?
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Envoyé: 13.09.2007, 21:33
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Je dois avouer que je n'ai pas vraiment cherché ; ton idée de départ paraissait bonne mais elle semble ne pas aboutir.
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Envoyé: 13.09.2007, 21:35
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Envoyé: 13.09.2007, 21:44
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calcule Vk+1 - √2
fractions au même dénominateur etc ...
tu vas arriver sur une identité remarquable du genre (a - b)2 = ???
donc tu démontreras que Vk+1 - √2 > 0
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Envoyé: 13.09.2007, 21:46
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Voie lactée
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Merci
PS: est-ce bien par récurrence?
modifié par : JerryBerry, 13 Sep 2007 - 21:47
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Envoyé: 13.09.2007, 22:21
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Voie lactée
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ya quelqu'un?
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Envoyé: 13.09.2007, 22:22
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Bin oui tu utilises Vk > √2 donc Vk > 0
Tu en as besoin dans la démonstration
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