Résolution d'un problème d'arithmétique

Bonjour

j'ai un probleme dans la question 3-c de l'exercice suivant

Soit n un entier naturel
1- Déterminer pour tout entier n de {0,1,...,6} le reste modulo 7 de $3^n$
2- Montrer que $3^{n+6}$ - $3^n$ est divisible par 7
3-a- Calculer le reste modulo 7 de $3^{1000}$
b- Quel est le chiffre des unités de $3^{1000}$ ?
c- Soit s la somme des chiffres du nombre $3^{1000}$ .
Quel est le reste modulo 7 de s ?

Pouvez vous m'aider S.V.P

Merci

Salut, où en es tu dans ton programme ? as tu vu les congruences ou les divisions euclidiennes seulement ??

Salut

oui on a deja fait:

Divisibilité dans Z
Division euclidienne
Congruences
PGCD et PPCM

Merci

ben vous n'avez pas trainé !!

La méthode est la suivante : tu cherches les restes (avec les congruences) de $3^n$ modulo 7 pour n = 1, n= 2... jusqu'à trouver une puissance telle que le reste fasse 1 (tu trouves n = 6).

Juste pour te guider ensuite, on pourra en déduire que $3^{6k}$ est congru à 1 pour tout k...
ca devrait t'aider

Salut

Merci de votre aide, mais ce que vous me dites je l'ai deja fait à la premiere question
dans la question 3-c il s'agit de s la somme des chiffres de $3^{1000}$ !!!!

voici les reponses que j'ai trouvé des question precedantes:

1- si n=6k $3^n$ $≡1\equiv 1$ (7)
si n=6k+1 $3^n$ $≡3\equiv 3$ (7)
si n=6k+2 $3^n$ $≡2\equiv 2$ (7)
si n=6k+3 $3^n$ $≡6\equiv 6$ (7)
si n=6k+4 $3^n$ $≡4\equiv 4$ (7)
si n=6k+5 $3^n$ $≡5\equiv 5$ (7)

2- Puisque 7 est un nombre premier et 3 n'est pas divisible par 7 donc d'apres
le Petit Théorème de Fermat on a:
$37−1≡1(7)3^{7-1} \equiv 1 (7)$ donc
$37−1−1≡0(7)3^{7-1}-1 \equiv 0 (7)$ donc
$3n+6−3n=3n(36−1)≡0(7)3^{n+6} - 3^n = 3^n(3^6-1) \equiv 0 (7)$

3-a- $31000=3996+4=36×166×343^{1000} = 3^{996+4} = 3^{6 \times 166} \times 3^4$
on a $3996≡1(7)3^{996} \equiv 1 (7)$ et $34≡4(7)3^4 \equiv 4 (7)$
donc $31000≡4(7)3^{1000} \equiv 4 (7)$

b- On a: $34p≡1(10)3^{4p} \equiv 1 (10)$
$34p+1≡3(10)3^{4p+1} \equiv 3 (10)$
$34p+2≡9(10)3^{4p+2} \equiv 9 (10)$
$34p+3≡7(10)3^{4p+3} \equiv 7 (10)$ avec $\in n$

Puisque $31000=34×250≡1(10)3^{1000} = 3^{4 \times 250} \equiv 1 (10)$
d'où le chiffre des unités est 1

Merci d'avance

ok, j'avais mal lu ta question...

je vais y réfléchir...

salut fetdak, c'est juste pour te prévenir que je ne t'ai pas oublié.
Je m'en occupe ce week end, pour l'instant pas de résultat probant sur mes essais...

mathemitec
salut fetdak, c'est juste pour te prévenir que je ne t'ai pas oublié.
Je m'en occupe ce week end, pour l'instant pas de résultat probant sur mes essais...

Merci, c'est tres gentil

Bon, toujours pas de solution a te proposer mais je capitule pas !!