Dm sur les suite et barycentre

Salut à tous et bonne rentré.
Mais bon la rentré engendre également quelque petit problème tel que se DM sur lequel je coince et il est pour demain...

voici l'énoncé:
Dans un plan muni d'un repère orthonormale (O;i,j), on donne les points A(1;-1) et B(5;3). on considère la suite de points (Gn) définie par le point G0 en O et, pour n≥1, Gn est le barycentre des points pondérés $G_{n-1}$ ;2), (A;1), (B;1).
On note (Xn;Yn) les coordonnées de Gn.

1)- Calculer les coordonnées des points G1,G2 et G3.
Placer ces points et montrer qu'ils sont alignés.

Ma réponse:

$Gn=bar{(G_{n-1}$ ,2)(A,1)(B,1)}
G1= bar {(G0,2)(A,1)(B,1)}
xG1=(0×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=3/2 Donc G1 (3/2;-1/2)
yG1=(0×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=-(1/2)

G2= bar {(G1,2)(A,1)(B,1)}
xG2=((3/2)×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=9/4 Donc G2 (9/4;1/4)
yG2=((-1/2)×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=1/4

G3= bar {(G2,2)(A,1)(B,1)}
xG3=((9/4)×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=21/8 Donc G3 (21/8;5/8)
yG3=((1/4)×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=5/8

Ceci est pour les coordonnées des points G1,G2, et G3.

On prend les vecteur G1G2 et G2G3.

vecteur G1G2(9/4 -3/2) =(3/4) vecteur G2G3(21/8-9/4) =(5/8)
(1/4+1/2) (3/4) (5/8-1/4) (5/8)

Donc si xy'-x'y=0 alors les vecteurs sont colinéaire et les points alignés
Et 3/4x5/8-5/8x3/4=0 Donc les points G1,G2 et G3 sont alignés.

2)- Prouver que, pour tout n de N, $G_{n+1}$ est l'image de Gn par homotétie que l'on caractérisera par son centre et son rapport

Ma réponse est que je ne comprend la question et que ne ma rappel plus ce qu'est une homotétie...
Merci de m'aider pour ceci.

3)- Justifier que pour tout n de N, $x$ _{n+1} $1/2x_n$ +3/2.

Ma réponse est que je ne comprend pas non plus car je pense qu'il faut le faire a partir de la2 mais comme je ne sais pas la faire je bloque.
Merci encore pour votre aide.

4)- a- On pose $x$ _n $U_n$ +3 pour tout entier n. Démontrer que (Un) est une suite géometrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b- En déduire une expression simple de $x_n$ en fonctiopn de n.
c- Déterminer la limite de la suite (Xn).

Ma réponse:
a- $$n$=U_n$+3 ; ∀ n de N.
$x$ {n+1} $1/2x_n$ +3/2
$x$ {n+1} $1/2(x_n$ +3)
$x$ {n+1} $1/2(U_n$ )

Donc $x_{n+1}$ =qUn où q est la raison qui est égale a 1/2.
Mais pour le premier terme je ne trouve pas.
b-Je ne trouve pas une expression simplifier de $x_n$ je ne voi pas comment faire.
c- et c'est de même pour la limite de la suite $x_n$ .

Voilà alors je vous remercie d'avance pour votre aide...

Bonjour,

Il me semble que tu fais une erreur de calcul dans le calcul de $y_{G1}$
(0×2 + (-1)×1 + 3×1)/(2 + 1 + 1) = (-1 + 3)/4) = 1/2

l'erreur se répercute sue les autres valeurs.

Pour l'homothétie il faut trouver un point I (centre de l'homothéti) et un réel k (rapport de l'homothétie) tel que pour tout $G_n$

on a $I G$ _{n+1} $→^\rightarrow$ = k $I G$ _n $→^\rightarrow$

En faisant un dessin avec les premiers barycentres trouvés tu devrais trouver une piste.

En effet, pour la 3 il faut avoir trouvé la 2 et cela devient limpide.

Pour la suite $x_n$ = $U_n$ + 3

donc $U_n$ = $x_n$ - 3

C'est la suite $U_n$ ) qu'on te demande d'étudier pas $x_n$ )

Si $U_n$ ) est une suite géométrique de premieer terme $U_0$ et de raison q

alors $U_n$ = $U_0$ $q^n$

$U_0$ = $x_0$ - 3 = ???

et si -1 < q < 1 alors quelle est la limite de $q^n$ ?

d'accord merci j'ai vu mon erreur dans les calculs mais par contre quand je la corrige je trouve que les point G1,G2 et G3 ne sont pas aligné, est-ce normale?

non ce n'est pas normal ... tu dois faire encore une faute quelquepart !

désolé c'est bon j'ai fait une autre erreur de calcul pour le 1.

je trouve que G1G2=(3/4)
(1/4)

et que G2G3=(3/8)
(1/8)
Merci je passe au reste

Attention à la rédaction si pour toi

3/4 et 1/4 sont les coordonnées du vecteur $G$ _1 $G$ _2 $→^\rightarrow$ ,

il ne faut pas écrire $G$ _1 $G$ _2 $→^\rightarrow$ = ( 3/4 ; 1/4) qui est une horreur

mais $G$ _1 $G$ _2 $→^\rightarrow$ ( 3/4 ; 1/4) sans rien entre le vecteur et les coordonnées

ah d'accord je savais pas merci du conseil.

j'ai fais la figure et placé les premiers barycentre mais je ne trouve toujours pas de piste pour les homotétie et autre du 2.

et sinon pour la limite de $q^n$ c'est 0 mais en quoi cela peut il m'aider pour trouver la limite de la suite $x_n$ ?

Merci

Regarde le milieu de [AB]

c'est juste une intuition à cause du 1/2 devant le $x_n$ ... peut-être à exploiter

Zorro

Pour la suite $x_n$ = $U_n$ + 3

donc $U_n$ = $x_n$ - 3

C'est la suite $U_n$ ) qu'on te demande d'étudier pas $x_n$ )

Si $U_n$ ) est une suite géométrique de premieer terme $U_0$ et de raison q

alors $U_n$ = $U_0$ $q^n$

$U_0$ = $x_0$ - 3 = ???

et si -1 < q < 1 alors quelle est la limite de $q^n$ ?

--je n'avais pas tracer [AB] et il coupe la droite passant par G1,G2,G3 en un point k, milieu de [AB].
quel est le rapport avec les homotétie?????

----pour le 4-a) la suite $X$ n $U_n$ +3 donc $U$ n $X_n$ -3
$U$ {n+1} $X</em>{n+1}$ -3
$U$ {n+1} $1/2X_n$ +(3/2)-3
$U$ {n+1} $1/2X_n$ -3/2
$U$ {n+1} $1/2(X_n$ -3)
$U</em>{n+1}$ =1/2 $U_n$

Mais quel est le premier terme?
et la raison q=1/2

comme -1<1/2<1
donc lim de 1/2=0

Mais pour le reste que faire?????

$U_{0 }$ = $x_0$ - 3

et en se souvenant que $x_0$ est l'abscisse de $G_0$ , tu trouves ?
un petit oubli de puissance

-1 < 1/2 < 1 donc lim de $1/2)^n$ =0 quand n tend vers +∞

ok don si j'ais compris le premier terme de la suite Un
est Uo=Xo-3; Uo=0-3=-3.
Mais pour le 2-) les homotétie je nage complétement...

Et pour l'expression simplifier de Xn en fonction de n, je doit partir de Xn=Un+3 ou non???

Mais aussi on me demande la limite de la suite Xn, est ce que la limite de la raison suffi ou y a t'il autre chose a faire??

Merci

pour la 4-b) où il faut en déduire une expression plus simple de Xn en fonction de n; si je fait:
Xn=Un+3
Xn=(Xn-3)+3
Xn=Xn
Donc Xn=1 ou Xn=0
ou peut etre que je me plante complet???

Si $U_n$ ) est une suite géométrique de premieer terme $U_0$ = -3 et de raison q = 1/2

alors $U_n$ = $U_0$ $q^n$ = -3 * $1/2)^n$

ensuite il suffit d'appliquer la formule qui donne $x_n$ = $U_n$ + 3

pour connaître $x_n$ en fonction de n