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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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méthode de héron

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Anonyme
Envoyé: 03.09.2005, 05:55
Utilisateur non enregistré Voila j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les suites, j'ai du mal a m'en sortir, je rame vraiment! Pour le 1) j'y arrive mais plus le reste... Ce serait sympa si qqn pouvait m'aider. Désolé je suis nouvelle sur le forum alors j'arrive pas a m'en sortir pour écrire des barres de fractions donc j'ai mis / à la place.
Vous pouvez me donner vos réponses ou conseils sur ce forum ou par mail: sarahlynnwagner@yahoo.fr


Approximation de racine2 par la méthode de Héron

On considère les suites (a n ) et (b n ) définies de la manière suivante :
a 0 = 2 et b 0 = 1

Pour tout n de N, a n+1 = (a n + b n )/2 et b n+1 = 2/a n+1

1) a) Calculer les trois termes de chaque suite en valeur exacte
b) Pour tout n de N, exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de an .

2) A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que :
a) la suite (an) est positive
b) la suite (an) est minorée par racine2
c) la suite (bn) est positive et majorée par racine2
d) la suite est décroissante et la suite (b n ) est croissante.

3) Montrer que pour tout n de N, 0 < a n+1 - racine2 < (1/2 racine2) x (a n - racine2 ) 2
puis que pour tout n de N, 0 < a n+1 - racine2 < (1/2 racine2) x (a n - racine2 )

4) a) Montrer que pour tout n de N, 0 < a n - racine2 < (1/2 racine2 ) n
b) En déduire que chacune des suites (a n ) et (b n ) converge vers

5) a) Montrer que pour tout n de N, 0 >= racine2 - b n >= a n - racine2 .
b) A partir de quel rang n est on sur d’avoir un encadrement de racine2 à 10 -10 près ?
(s’aider d’un dessin).






modifié par : sarahlynn, 03 Sept 2005 @ 06:38
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Envoyé: 03.09.2005, 11:54

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Bonjour sarahlynn. Tu es vraiment matinale !
Ce serai bien si tu précisais un peu quelles sont les difficultés que tu rencontres. Pour la récurrence, il faut :
- vérifier que la condition est remplie pour au moins une valeur de la suite : par ex pour 2) a), est-ce que a_0 est positif ?
- sous l'hypothèse que la propriété est vraie pour une certaine valeur de n, montrer que c'est le cas aussi pour n+1 : par ex, pour 2) a) toujours, en supposant que a_n est positif, peux-tu montrer que a_n+1 l'est aussi ?
Si ces deux choses sont acquises, alors la propriété de récurrence nous assure que pour tout n la propriété est vraie.
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Anonyme
Envoyé: 03.09.2005, 19:39
Utilisateur non enregistré pour le 1) et le 2)a) j'y arrive mais ensuite j'ai du mal avec la récurrence pour le reste de l'exo et aussi pour les démos ce qui fait que je ne réussis pas a faire grand chose. Je fais la démonstration par récurrence pour montrer que ça s'applique a tout n (n+1) et ensuite quand je vérifis 'est faux a chaque fois...
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Envoyé: 03.09.2005, 21:12

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Salut. Comme je galère pas mal à éditer des formules lisibles ici je te propose de t'envoyer quelques pistes en .pdf à l'adresse que tu as laissée plus haut. A tout de suite.
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