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Modéré par: Jeet-chris

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minidiane	Envoyé: 15.06.2007, 16:40
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice. Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par f(t)=exp(at) si t [0,2pi]. a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi] b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f. c) Calculer la somme de la série ∑(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²) Je n'arrive pas à résoudre la dernière quesiton. J'ai an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))


Jeet-chris	Envoyé: 15.06.2007, 18:30
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet en x=0. N'oublie pas le a₀ dans la formule de la somme de la série. Comme le numérateur de a_n ne dépend pas de n, tu pourras le mettre en facteur, ce qui fait apparaitre la somme en question. @+

minidiane	Envoyé: 15.06.2007, 18:43
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	D'accord par contre j'ai un soucis pour calculer (f(0+)+f(0-))/2 je n'y arrive pas. J'ai pas réussis à faire le graphe non plus du coup je suis un peu embêtté. J'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi. Pouvez-vous m'aider svp? Merci.

Jeet-chris	Envoyé: 15.06.2007, 22:11
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Ben déjà il y a un problème au niveau de la définition : f(t) = exp(at) sur ]0;2] ou [0;2[ ? Parce que sur [0;2] ce n'est pas possible (il y a discontinuité aux bornes). De toute manière on a f(0^-) qui vaut exp(2a) et f(0⁺) est égal à 1. Donc la moyenne est simple à faire. Effectivement, si tu n'as pas compris la définition de f, tu ne risques pas d'y arriver. Essayons ensemble (je prends l'intervalle [0;2[, mais au hasard, vu que j'attends ta précision) : + f(t) = exp(at) sur [0;2[ : donc il suffit de tracer la courbe de f sur cet intervalle dans un premier temps; + f est 2-périodique : donc sur [-2;0[ la courbe de f est la même que celle sur [0;2[. On trace. Une fois la courbe tracée, on arrive à lire graphiquement les valeurs de f en 0^- et en 0⁺. @+

minidiane	Envoyé: 15.06.2007, 22:34
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	C'est sur [0;2[ en effet désolé pour l'erreur. Merci de ton aide. Je trouve pour la somme: (exp(2api)(2pi-1))/(4a(exp(2api)-1)) Pense-tu que cela est correcte?

Jeet-chris	Envoyé: 17.06.2007, 00:41
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Ton résultat me parait bizarre. Pour a=0 on devrait retrouver ²/6, alors que là ça diverge. Es-tu sûr de tes coefficients trigonométriques ? D'ailleurs pourquoi ne pas se limiter au coefficient exponentiel vu qu'il est plus simple à manipuler ici ? @+

minidiane	Envoyé: 17.06.2007, 08:19
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Pour a0 j'ai a0=(exp(2pia)-1)/2pia et non ce que j'avais donné. J'ai recalculer la somme avec ce a0 car je mettais trompé en calculant et j'obtiens: (exp(2pia)(4a-1)+4a-1)/(a4²(exp(2pia)-1) Est-ce que cela te semble un peu plus ccorrect? Sinon j'ai aussi cn si tu veux mais je ne vois pas comment l'utilisé ici pour calculer cette somme. Cn=exp(2pia)/(2pi(a-in)).

Jeet-chris	Envoyé: 17.06.2007, 21:46
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Cette fois ça tend vers -∞ quand a tend vers 0. Ce n'est toujours pas ça. Si tu as calculé a_n et b_n à l'aide de c_n je comprends ton erreur. Personnellement je n'ai pas trouvé cela. $2$ \displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{(a-in)t}dt = \frac{1}{2\pi(a-in)} \left[ e^{(a-in)t} \right]_0^{2\pi}$ D'où $c_n = \frac{e^{2\pi(a-in)}-1}{2\pi(a-in)}$ . @+

minidiane	Envoyé: 17.06.2007, 22:06
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	coucou Je n'ai pas calculé $a_n$ et $b_n$ à l'aide de $c_n$ pourtant. Pour $c_n$ je trouve bien ce que vous avez en effet je m'étais trompé à la fin. Pour $a_n$ et $b_n$ j'ai procédé de cette manière: $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} cos(nt)dt}$ $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} sin(nt)dt}$ Pour $a_n$ je suis tombé sur un système de la forme $\frac{1}{\pi}I=\frac{1}{\pi}(a+bI)$ avec $I=\int_{0}^{2\pi} e^{at}cos(nt)dt$

minidiane	Envoyé: 19.06.2007, 08:30
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Pour la somme je ne vois pas comment calculer à partir de $c_n$ . Peux-tu me dire comment faire? stp. Merci.

Jeet-chris	Envoyé: 19.06.2007, 13:00
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. C'est exactement pareil que pour les a_n vu que a_n = c_n + c_-n. Ce qui serait bien c'est de faire le calcul pour trouver ton erreur dans les a_n. Sinon vérifie ton calcul des a_n, une faute a pu s'y glisser. @+

minidiane	Envoyé: 19.06.2007, 21:14
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Salut. Voici mon calcul de an. $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}$ $a_n=\frac{1}{\pi}([\frac{sin(nt)}{n}e^{at}]-\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{sin(nt)}{n}dt)}$ $a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}[\frac{cos(nt)}{n}e^{at}]-\frac{a}{n}\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{cos(nt)}{n}dt)}$ $a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}(\frac{-1}{n}e^{2api}+\frac{1}{n})-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}$ $a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{a^{2}}{n^{2}}(e^{2api}-1)-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}$ Je pose $I=\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}$ On a donc I=a+bI $I=\frac{a}{1-b}$ Je trouve $I=\frac{a(e^{2api}-1)}{n^{2}+a^{2}}$ Enfin $a_n=\frac{a(e^{2api}-1)}{pi(n^{2}+a^{2})$

Jeet-chris	Envoyé: 19.06.2007, 22:43
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Erreur de signe à la troisième ligne. Devant le crochet c'est un + et non un -. Le premier était devant l'intégrale en ligne 2 et le second est venu après primitivation du sinus dans le crochet. Si tu préfères, tu as oublié un signe - dans le crochet en fait. @+

minidiane	Envoyé: 20.06.2007, 08:39
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	ok c'est un oubli mais pour la suite j'ai utilisé le moins. ;) Par contre je pense qu'il y a bien un moins pour $\frac{-a}{n}$ car on calcule - intégrale ... ou bien je me trompe?

Jeet-chris	Envoyé: 20.06.2007, 17:01
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Effectivement le signe - est revenu, j'aurai dû lire la suite, désolé. Dans ce cas 5ème ligne, pourquoi un a² devant la parenthèse ? Devant l'intégrale je suis d'accord, mais le crochet n'a pas fourni de a en facteur supplémentaire. @+

minidiane	Envoyé: 20.06.2007, 19:04
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Salut. Pas grave ;) C'est exacte sur ma feuille il n'y as pas de a² encore une faute de frappe. Normalement pour la suite il ne devrait pas apparître. Oui je ne l'ai pas mis après. ;)

Jeet-chris	Envoyé: 20.06.2007, 19:37
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Bon je te fais confiance pour les a_n dans ce cas. J'ai calculé avec tes formules la somme de la série et je n'ai pas du tout trouvé comme toi, donc l'erreur est là. Pour x=0 on peut donc écrire d'après le théorème de Dirichlet (les hypothèses sont vérifiables) : $\displaystyle \frac{f(0^+)+f(0-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ En remplaçant par tes expressions j'en arrive à : $\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$ Puis comme a≠0 on peut diviser par exp(2a)-1 : $\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$ On termine le calcul simplement ce qui fournit : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi-1)e^{2\pi a}+(2\pi+1)}{4a(e^{2\pi a}-1)}$ Ce qui ne ressemble pas à ton "(exp(2pia)(4a-1)+4a -1)/(a4²(exp(2pia)-1)". Vérifie que je ne me suis pas non plus trompé quand même. @+

minidiane	Envoyé: 20.06.2007, 20:17
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Salut. Ton calcul est juste je me suis bien trompé. Je me suis trompé à la fin en mettant le tout sous le même dénominateur. Merci. Par contre pour a_0 je n'avais pas tout à fait sa non plus. J'ai $\frac{e^{2pia}-1}{2pia}$ Du coup je n'ai pas tout à fait la même chose mais presque. ;= modifié par : minidiane, 20 Jn 2007 - 20:24

Jeet-chris	Envoyé: 20.06.2007, 21:18
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1168 Status: hors ligne dernière visite: 22.06.08	Salut. Zut ! J'ai bien mal recopié ta formule : j'ai oublié le a au dénominateur. J'ai donc faux. Je recommence. $\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$ $\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi a(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi a-1)e^{2\pi a}+(2\pi a+1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)}$ Pfiou ! @+

minidiane	Envoyé: 21.06.2007, 22:21
Constellation enregistré depuis: jun. 2007 Messages: 47 Status: hors ligne dernière visite: 30.05.08	Salut. J'ai pareil cette fois ouf lol. Merci de m'avoir aider.