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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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- classé dans : Suites & séries

Envoyé: 15.06.2007, 16:40

Constellation
minidiane

enregistré depuis: juin. 2007
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dernière visite: 04.09.10
Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice.

Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par
f(t)=exp(at) si t [0,2pi].
a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi]
b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f.
c) Calculer la somme de la série
∑(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²)

Je n'arrive pas à résoudre la dernière quesiton.

J'ai an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))
Top 
 
Envoyé: 15.06.2007, 18:30

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Salut.

Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet en x=0. N'oublie pas le a0 dans la formule de la somme de la série. icon_smile

Comme le numérateur de an ne dépend pas de n, tu pourras le mettre en facteur, ce qui fait apparaitre la somme en question. icon_wink

@+
Top 
Envoyé: 15.06.2007, 18:43

Constellation
minidiane

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D'accord par contre j'ai un soucis pour calculer (f(0+)+f(0-))/2 je n'y arrive pas. J'ai pas réussis à faire le graphe non plus du coup je suis un peu embêtté. icon_frown
J'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci.
Top 
Envoyé: 15.06.2007, 22:11

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Salut.

Ben déjà il y a un problème au niveau de la définition : f(t) = exp(at) sur ]0;2pi] ou [0;2pi[ ? Parce que sur [0;2pi] ce n'est pas possible (il y a discontinuité aux bornes).

De toute manière on a f(0-) qui vaut exp(2pia) et f(0+) est égal à 1. Donc la moyenne est simple à faire.

Effectivement, si tu n'as pas compris la définition de f, tu ne risques pas d'y arriver.

Essayons ensemble (je prends l'intervalle [0;2pi[, mais au hasard, vu que j'attends ta précision) :

+ f(t) = exp(at) sur [0;2pi[ : donc il suffit de tracer la courbe de f sur cet intervalle dans un premier temps;

+ f est 2pi-périodique : donc sur [-2pi;0[ la courbe de f est la même que celle sur [0;2pi[. On trace.

Une fois la courbe tracée, on arrive à lire graphiquement les valeurs de f en 0- et en 0+. icon_smile

@+
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Envoyé: 15.06.2007, 22:34

Constellation
minidiane

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C'est sur [0;2[ en effet désolé pour l'erreur.
Merci de ton aide.
Je trouve pour la somme: (exp(2api)(2pi-1))/(4a(exp(2api)-1))
Pense-tu que cela est correcte?
Top 
Envoyé: 17.06.2007, 00:41

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Salut.

Ton résultat me parait bizarre. Pour a=0 on devrait retrouver pi²/6, alors que là ça diverge.

Es-tu sûr de tes coefficients trigonométriques ? D'ailleurs pourquoi ne pas se limiter au coefficient exponentiel vu qu'il est plus simple à manipuler ici ?

@+
Top 
Envoyé: 17.06.2007, 08:19

Constellation
minidiane

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dernière visite: 04.09.10
Pour a0 j'ai a0=(exp(2pia)-1)/2pia et non ce que j'avais donné.
J'ai recalculer la somme avec ce a0 car je mettais trompé en calculant et j'obtiens: (exp(2pia)(4a-1)+4a-1)/(a4²(exp(2pia)-1)
Est-ce que cela te semble un peu plus ccorrect?
Sinon j'ai aussi cn si tu veux mais je ne vois pas comment l'utilisé ici pour calculer cette somme.
Cn=exp(2pia)/(2pi(a-in)).
Top 
Envoyé: 17.06.2007, 21:46

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Salut.

Cette fois ça tend vers -∞ quand a tend vers 0. Ce n'est toujours pas ça.

Si tu as calculé an et bn à l'aide de cn je comprends ton erreur. Personnellement je n'ai pas trouvé cela.



D'où . icon_smile

@+
Top 
Envoyé: 17.06.2007, 22:06

Constellation
minidiane

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coucou

Je n'ai pas calculé et à l'aide de pourtant.
Pour je trouve bien ce que vous avez en effet je m'étais trompé à la fin.
Pour et j'ai procédé de cette manière:


Pour je suis tombé sur un système de la forme avec
Top 
Envoyé: 19.06.2007, 08:30

Constellation
minidiane

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Pour la somme je ne vois pas comment calculer à partir de .
Peux-tu me dire comment faire? stp.
Merci.
Top 
Envoyé: 19.06.2007, 13:00

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Salut.

C'est exactement pareil que pour les an vu que an = cn + c-n.

Ce qui serait bien c'est de faire le calcul pour trouver ton erreur dans les an. Sinon vérifie ton calcul des an, une faute a pu s'y glisser.

@+
Top 
Envoyé: 19.06.2007, 21:14

Constellation
minidiane

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Salut.

Voici mon calcul de an.





Je pose
On a donc I=a+bI

Je trouve
Enfin
Top 
Envoyé: 19.06.2007, 22:43

Modérateur


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Salut.

Erreur de signe à la troisième ligne. Devant le crochet c'est un + et non un -. Le premier était devant l'intégrale en ligne 2 et le second est venu après primitivation du sinus dans le crochet.

Si tu préfères, tu as oublié un signe - dans le crochet en fait. icon_smile

@+
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 08:39

Constellation
minidiane

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dernière visite: 04.09.10
ok c'est un oubli mais pour la suite j'ai utilisé le moins. ;)
Par contre je pense qu'il y a bien un moins pour car on calcule - intégrale ... ou bien je me trompe?
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 17:01

Modérateur


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Salut.

Effectivement le signe - est revenu, j'aurai dû lire la suite, désolé. icon_smile

Dans ce cas 5ème ligne, pourquoi un a² devant la parenthèse ? Devant l'intégrale je suis d'accord, mais le crochet n'a pas fourni de a en facteur supplémentaire.

@+
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 19:04

Constellation
minidiane

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Salut.

Pas grave ;)
C'est exacte sur ma feuille il n'y as pas de a² encore une faute de frappe.
Normalement pour la suite il ne devrait pas apparître.
Oui je ne l'ai pas mis après. ;)
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 19:37

Modérateur


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dernière visite: 24.02.13
Salut.

Bon je te fais confiance pour les an dans ce cas. J'ai calculé avec tes formules la somme de la série et je n'ai pas du tout trouvé comme toi, donc l'erreur est là.

Pour x=0 on peut donc écrire d'après le théorème de Dirichlet (les hypothèses sont vérifiables) :



En remplaçant par tes expressions j'en arrive à :



Puis comme a≠0 on peut diviser par exp(2pia)-1 :



On termine le calcul simplement ce qui fournit :



Ce qui ne ressemble pas à ton "(exp(2pia)(4a-1)+4a -1)/(a4²(exp(2pia)-1)".

Vérifie que je ne me suis pas non plus trompé quand même. icon_razz

@+
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 20:17

Constellation
minidiane

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dernière visite: 04.09.10
Salut.

Ton calcul est juste je me suis bien trompé.
Je me suis trompé à la fin en mettant le tout sous le même dénominateur.
Merci.
Par contre pour a_0 je n'avais pas tout à fait sa non plus.
J'ai
Du coup je n'ai pas tout à fait la même chose mais presque. ;=



modifié par : minidiane, 20 Jn 2007 - 20:24
Top 
Envoyé: 20.06.2007, 21:18

Modérateur


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dernière visite: 24.02.13
Salut.

Zut ! J'ai bien mal recopié ta formule : j'ai oublié le a au dénominateur. J'ai donc faux.

Je recommence.







Pfiou ! icon_biggrin

@+
Top 
Envoyé: 21.06.2007, 22:21

Constellation
minidiane

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Salut.
J'ai pareil cette fois ouf lol.
Merci de m'avoir aider. icon_cool
Top 


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