Déterminer les limites d'une fonction exponentielle

Bonjour j'essai de faire un exercice d'annal . J'ai la réponse mais pas la démarche =( .Donc je ne sais pas comment il faut faire pour arriver à la réponse:

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur ¡ par :

$f(x) =x ({e^x + e^-^x})$

Montrer qu’on peut écrire f (x) = 2 x + x3 + x3 ε (x) avec $lim⁡x→0f(x)=\lim _{x \rightarrow {0} }f(x) =$ ε (x) = 0.

la reponse est:

$ex=1+x+x22+x2e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+x^2$ avec $lim⁡x→0f(x)=\lim _{x \rightarrow {0} }f(x) =$ ε (x) = 0.
$e^-^x = 1-x+\frac{x^2}{2}+x^2$ avec $lim⁡x→0f(x)=\lim _{x \rightarrow {0} }f(x) =$ ε (x) = 0.

donc f(x)=2x+x^3+x^3 avec $lim⁡x→0f(x)=\lim _{x \rightarrow {0} }f(x) =$ ε (x) = 0.

merci d'avance çà fait un bon moment que je suis deçu!!!! je ne comprend pas le passage $e^x=$ et $e^-^x=$ j'ai vu que ca avait un rapport au cosinus hyperbolique, mais j'ai jamais vu ca et j'ai fait un effort LATEX ^^

Salut.

Hem... en terminale ES ? Parce que le sujet fait appel à la notion de développements limités quand même, notion que l'on aborde après le Bac normalement, à moins que l'énoncé ne précise quelques informations supplémentaires. J'attends ta réponse.

A mon avis tu ne voulais pas écrire $lim⁡x→0f(x)=ϵ(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = \epsilon(x) = 0$ , mais $lim⁡x→0ϵ(x)=0\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$ non ?

Et pour le cosinus hyperbolique, c'est pareil, si on ne l'a pas rencontré anecdotiquement lors d'un exercice, on en parle après le Bac. Il est définit par : $ch(x) = (e^x+e^{-x})/2$ .

@+

Bonjour,

Je suis comme Jeet-chris, il me semble que le niveau indiqué n'est pas le bon !

Et pour répondre de façon efficace, il faut connaitre le véritable niveau de la personne qui pose la question. Ici, il est évident que ce n'est pas du niveau Terminale ES en France !

Il serait donc souhaitable que tu nous précises ton niveau pour qu'on puisse adapter nos éventuels réponses à ce que tu es censé savoir.

Niveau licence mais j'aide une personne a faire des devoirs niveau BTS que je n'arrive pas moi même

alors volà je demande de l'aide, je pense que c'est le bon endroit!

et c'est juste le rectificatif donné par Jee chris

pouvez vous m'aider???

C'est une question pour toi ou pour ton élève ?

De toute façon il va falloir déplacer le sujet dans le bon forum ! Mais on ne sait toujours pas si la réponse doit être du niveau

licence (quelle licence ??? maths , bio , phyisque etc ..)
ou
BTS (quel BTS ??? biologie , informatique , compta , ou n'importe quoi d'autre)

BTS Informatique je l'aide pour ses maths

Salut.

Ok merci. Je suis allé voir : les développements limités, c'est du cours.

Donc d'après son cours, normalement, le développement limité au deuxième ordre en 0 de l'exponentielle est :

$eu=01+u+u22+u2ϵ(u)e^u =_0 1+u+\frac{u^2}{2}+u^2 \epsilon(u)$

En remplaçant u par x et -x (car ils tendent vers 0 en 0), on obtient :

$ex=01+x+x22+x2ϵ(x)e^x =_0 1+x+\frac{x^2}{2}+x^2 \epsilon(x)$

$e−x=01−x+x22+x2ϵ(x)e^{-x} =_0 1-x+\frac{x^2}{2}+x^2 \epsilon(x)$

Donc en substituant les expressions dans f on obtient :

$=_0 x , \left[ \left(1+x+\frac{x^2}{2}+x^2 \epsilon(x)\right) + \left(1-x+\frac{x^2}{2}+x^2 \epsilon(x)\right)\right]$

On simplifie, le facteur 2 est "absorbé" par la fonction ε (c'est dans les règles de calcul, le epsilon représente la partie négligeable) :

$=_0 x(2+x^2+x^2 \epsilon(x))$

Et on effectue le produit, d'où : $=_0 2x+x^3+x^3 \epsilon(x)$

@+