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Jeet-chris
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Envoyé: 18.05.2007, 22:46
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Salut.
Exercice 8 : (V-V-F-V)
8.a) f est solution de [E], donc pour tout x, f'(x)-3f(x) = exp(3x).
Pour x = 0, comme f(0) = 1, on en déduit bien que f'(0) = 4. C'est vrai.
8.b) Déjà, g est bien dérivable comme produit de fonctions dérivables.
g'(x) = (f'(x)-3f(x))*exp(-3x) ⇒ g'(0) = (4-3*1)*1 = 1
Donc c'est vrai.
8.c) f(0) = 1, alors que x*exp(3x) = 0 en 0, donc ce n'est pas vrai, c'est faux.
8.d) Soit h la fonction définie par h(x) = (3f(x)-e3x-2)/9.
h'(x) = (f'(x)-e3x)/3 = f(x) car f est solution de [E] (f'(x)-3f(x) = exp(3x)).
Donc h est une primitive de f. Et comme h(0)=0, c'est la primitive de f qui s'annule en 0. Donc elle est bien définie par : =\int_0^x f(t)dt}) .
Conclusion, c'est vrai.
@+
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Jeet-chris
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Envoyé: 19.05.2007, 00:21
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Salut.
Exercice 9 : (V-F-V-V)
9.a) Une intégration par partie nous montre que (avec u(x) = ln(x) et v'(x) = 1/x) :
}{x}dx = [\ln^2(x)]_1^e - \int_1^e \frac{\ln(x)}{x}dx = 1 - I_1)
Donc I1 = 1/2, c'est vrai.
9.b) ∀x∈[1;e], ∀n≥1, xn+1 > xn.
Par conséquent ln(x)/xn+1 < ln(x)/xn pour x∈]1;e].
D'où In+1 < In. La suite est donc décroissante, c'est faux.
9.c) Comme ln(x)/xn est supérieur à 0 sur [1;e], l'intégrale l'est. La première partie de l'inégalité est bien vérifiée.
Pour l'autre partie, on va commencer l'intégration par partie qui sera détaillée dans la question suivante :
}{x^n}dx = \left\[\frac{-\ln(x)}{(n-1)x^{n-1}} \right\]_1^e - \int_1^e \frac{-1}{(n-1)x^{n}} dx)
e^{n-1}} + \frac{1}{n-1} \int_1^e \frac{1}{x^{n}} dx)
Or on sait que 1/x ≥ 1/xn sur l'intervalle demandé. Donc il vient que :
D'où :
e^{n-1}} + \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n-1} \left\( 1-\frac{1}{e^{n-1}} \right\))
C'est vrai.
9.d) On intègre par partie. Comme n≥2 :
 = \frac{-1}{(n-1)x^{n-1}} && u'(x) = \frac{1}{x^n} \\ v(x) = \ln(x) && v'(x) = \frac{1}{x} \\ \end{array})
e^{n-1}} - \frac{1}{(n-1)^2} \left\[\frac{1}{x^{n-1}} \right\]_1^e)
^2})
^2})
C'est donc vrai.
@+
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arnaud405
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Envoyé: 19.05.2007, 00:52
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j'ai mis exactement tout linverse ! je pense que ça ne veut pas le coup que je regarde la suite...pffff..zut..j'aurai pas mon concours...
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Jeet-chris
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Envoyé: 19.05.2007, 01:05
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Salut.
Exercice 10 : (V-V-V-V)
10.a)  = \frac{1}{5} w_n)
Donc c'est vrai, (wn) est bien géométrique de raison 1/5.
10.b) 
Or, comme (wn) est géométrique de raison 1/5 et que w0 = 5, on en déduit que
wn = 1/5n-1, donc que wn est positive pour tout n.
Par conséquent un+1 - un est positif. D'où (un) est croissante. C'est donc vrai.
10.c) De même : 
Donc (vn) est décroissante.
Comme (wn) est géométrique de raison 1/5 inférieure à 1, alors elle converge vers 0.
Il vient donc que (un) et (vn) sont adjacentes, donc elles convergent. Il fallait donc répondre vrai à cette question.
10.d) On a déjà vu que (un) est croissante, donc un+1 ≥ un.
De plus 
Donc un+1 ≤ vn.
D'où l'encadrement de l'énoncé. C'est encore vrai.
C'est la première fois qu'il font un sans faute les concepteurs de l'énoncé, ils s'améliorent ! 
@+
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Jeet-chris
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Envoyé: 19.05.2007, 01:49
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Salut.
Exercice 11 : (V-V-V-V)
11.a) Un petit raisonnement par récurrence fournit le résultat proposé :
Soit la propriété P(n) : "1 < un < 2", n∈lN.
+ [i]n=0[/i] : 1 < u0 = 1,5 < 2, donc P(0) est vraie.
+ [i]Soit P(n) vraie pour un n donné[/i] : 1 < un < 2 ⇒ 1 < -2/(un-3) = un+1 < 2
Donc P(n) ⇒ P(n+1).
Le principe de récurrence étant vérifié, il faut répondre [b]vrai[/b] à cet item.
11.b) [mtex]2$ u_{n+1} - u_n = - \frac{2}{u_n-3} - u_n = \frac{-u_n^2+3u_n-2}{u_n-3} = -\frac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n-3}[/mtex]
D'après l'encadrement de la question précédente, on peut alors affirmer que un+1 - un est négatif.
(un) étant décroissante et minorée, elle converge. C'est donc vrai.
11.c) Déjà un calcul immédiat fournit v0 = -1.
Puis }{-2-(u_n-3)} = 2 \frac{u_n-2}{u_n-1} = 2 v_n) .
(vn) est bien géométrique de raison 2 et de premier terme -1. C'est vrai.
11.d) On a donc vn = -2n = (un-2)/(un-1).
On mélange, ce qui nous donne un = (2+2n)/(1+2n).
En remarquant au numérateur que 2+2n = 1+(1+2n), on peut donc écrire l'expression sous la forme de l'énoncé. C'est vrai.
Je trouve beaucoup de vrais en ce moment, vérifiez bien que je n'ai pas écrit n'importe quoi quand même : je ne fais pas confiance aux concepteurs de l'énoncé. 
@+
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Djib
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Envoyé: 19.05.2007, 10:35
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Moi aussi j'avais trouver tout vrai pour ces 2 exercices par les meme raisonnement.
bon et bien tout ça s'annonce plutot bien ça me fait 37/45 si nos raisonnement sont juste ^^
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jeje78
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Envoyé: 19.05.2007, 10:41
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bonjour tout le monde. je suis nouveau sur le forum. alors je ne suis pas tout a fait d'accord avec toi jeet-chris pour la d) de l'exercice 11 sinon je suis a peu prés ok.
d)calculons,u1,u2 avec un+1= -2(un-3)
u0=3/2 ; u1=-2/(3÷2-3)=4/3 ; u2=-2/(4÷3-3)=6/5
si on calcule u0 ; u1;u2 avec un=1+ (1/1+2n)
on obtient u0=3/2(bon) ;u1=22/21(pas 4/3) ;u2=202/201(pas 6/5). sinon merci beaucoup a vous pour les correction.a+
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Djib
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Envoyé: 19.05.2007, 11:58
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euh tu doi te tromber dans tes calcules chez moi ça marche...
avec Un=1+ (1/1+2n)
U0=1 + 1/2 = 3/2 ok
U1=1 + 1/3 = 4/3 ok
U2=1+ 1/5 = 6/5 ok...
tu a du confondre n avec Un.
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jeje78
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Envoyé: 19.05.2007, 14:55
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oui eeffectivement je viens de me rendre compte que je me suis trompé.ezcuz moi . j'atend impatiemment les nouvelles correction.bravo a vous
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Jeet-chris
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Envoyé: 21.05.2007, 02:02
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Modérateur
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Salut.
Ce serait sympa que vous fassiez les 2 exercices suivant (13 et 14) vu que ça fait 3 ans que je n'ai plus touché à la proba : je risquerais de raconter des âneries. En revanche je pourrai faire les exercices 15 et 16.
Exercice 12 : (F-F-V-F)
12.a) Sans réfléchir, on dérive, puis on regarde ce qu'il se passe quand x tend vers 0.
fn'(x) = [(n-1)ln(x)+1] xn-2
Si n=2, comme par hasard fn' tend vers moins l'infini vu que la puissance de x disparaît, mais pour n≥3, on se retrouve avec du x*ln(x) qui tend vers 0 en 0.
Donc comme pour n≥3 l'asymptote est horizontale, la réponse est faux.
12.b) Comme le seul facteur dépendant de n est xn-1, on peut considérer ln(x) comme une constante, alors on ne s'en occupe pas.
Sur ]0;1[, comme xn-1 tend vers 0 quand n tend vers +∞, alors f aussi. D'où c'est faux.
12.c) Pour comparer les tangentes en 1 il suffit de connaître fn(1) et fn'(1).
Or pour tout n≥3 (bizarre de commencer en 3 cette fois-ci vu que ça revient au même si n=2), on a fn(1) = 0 et fn'(1) = 1. Donc les tangentes sont bien identiques.
C'est vrai.
12.d) Soit on reconnaît (une fois le ln(x) mis en facteur de la somme) la somme des termes d'une suite géométrique, et là je dis attention vu que k commence à 2, soit on considère le cas n=2 parce que l'on n'a pas le temps dans un QCM de se tromper en faisant des changements d'indice foireux et que de toutes les manières le résultat est manifestement faux puisque la formule ne tiens pas compte du fait que k commence à 2 (une seconde je respire).
Donc si n=2,  \neq \left\( \frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x \right\)) .
Encore une fois c'est faux.
@+
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Thierry
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Envoyé: 23.05.2007, 11:08
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Exercice 13 :
a)V b)F c)V d)V
a) On tire les boules avec remise. Le tirage de la seconde boule noire est donc indépendant du tirage de la première. On peut toujours raisonner à l'aide d'un arbre pour s'en convaincre mais c'est plus long (pour en être sûr, j'ai moi-même fait les 2 ).
Donc,
=\frac{n}{2n}\time \frac{n}{2n}=\frac{1}{4})
et
=p(U_1)\time p_{U_1}(N) = \frac{1}{2}\time \frac{1}{4} = \frac{1}{8})
b)
=\frac{\left( \phantom ^n_2\right)}{\left( \phantom ^{2n}_2\right)}= ... = \frac{n-1}{4n-2}) (vous m'excuserez les points de suspension  )
Donc b) est faux
c) Vrai : la limite commune est 1/4
d) Formule des probabilités totales :
=p(U_1)\time p_{U_1}(N)+p(U_2)\time p_{U_2}(N))
soit
=\frac{1}{2}\time\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\time\frac{n-1}{2(2n-1)}= ... = \frac{4n-3}{8(2n-1)})
Y-a-t-il des questions ?
Bientôt l'exercice 14 ...
Thierry
Prof de math à Paris.
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Thierry
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Envoyé: 25.05.2007, 11:53
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Exercice 14 :
a)V b)F c)V d)V
a)
=\int_{0}^{1} {f_\lambda(t)} \,\text{d}{t}=1-e^{-\lambda})
Or P(T≤1)=1/2 donc on résoud l'équation :
1-eλ=1/2
On trouve λ=ln2
Pour la suite : soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de machines tombées en panne. Comme les utilisations des machines sont répétées et indépendantes (remarque : la loi de probabilité exponentielle n'a pas de mémoire), X suit une loi binomiale dont la probabilité de succès vaut 1/2 (et celle d'échec 1/2 aussi).
b) Faux, ça tombe sous le sens, 1 étant la probabilité de l'évènement certain ! Voici toutefois le calcul à effectuer :
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1/2)²
c)
=\left( \phantom ^5_1\right)(\frac 1 2)^1 (\frac 1 2)^4=\frac 5 {32})
d)
=(\frac 1 2)^n=\frac 1 {2^n})
Des questions ?
(A toi l'honneur Jeet  )
Thierry
Prof de math à Paris.
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Jeet-chris
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Envoyé: 26.05.2007, 16:18
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Modérateur
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Salut.
Exercice 15 : (V-F-V-V)
15.a) Tous les vecteurs normaux à (Q) sont colinéaires entre-eux, donc on regarde si (8;-1;-5) est colinéaire à AC .
Or AC=(8;-1;-5), quelle chance ! Donc c'est vrai.
15.b) Il y a pleins de méthodes possibles. Comme il faut bien en choisir une, on va par exemple regarder si le milieu I de [AB] de coordonnées (-1/2;0;7/2) appartient au plan.
(-1/2)+4*(0)+(7/2)+4≠0, donc les coordonnées de I ne vérifie pas l'équation de plan donnée. Comme I appartient à (P), ça signifie que l'affirmation est fausse : c'est faux.
15.c) On va calculer les longueurs ΩA, ΩB, ΩC et ΩD afin de savoir si elles sont égales vu que Ω est supposé être le centre de la sphère.
On remarque que ΩA=ΩB=ΩC=ΩD=9, donc A, B, C et D appartiennent à la même sphère de centre Ω. C'est vrai.
15.d) Alors là sans démonstration regardez comment on règle cette question durant un QCM sans justifications, ensuite je fais le truc fastidieux.
AM.BM = 0 ⇒ AM⊥BM ⇒ AMB est un triangle rectangle en M ou M=A ou M=B.
On en conclut donc intuitivement que l'ensemble recherché est bien une sphère, vu que les M appartiennent à un cercle de diamètre AB dans l'espace.
Bon maintenant la démonstration embêtante : on se ramène à une équation de sphère. Soit M de coordonnées (x;y;z).
x+(y-2)(y+2)+(z-4)(z-3))
^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 +12 - 4)
^2 + y^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2)
Et comme le produit scalaire est nul on en déduit que les coordonnées de M vérifient :
^2 + y^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2)
C'est l'équation de la sphère de centre I le milieu de [AB] (cf. la question 15.b)). On en déduit que c'est vrai.
@+
modifié par : Jeet-chris, 26 Mai 2007 - 18:14
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Jeet-chris
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Envoyé: 26.05.2007, 16:38
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Modérateur
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dernière visite: 22.06.08
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Salut.
Exercice 16 : (F-V-F-V)
16.a) Une équation de plan est de la forme ax+by+cz+d=0. Donc l'équation telle que a=b=1 et c=d=0, c'est-à-dire x+y=0, est une équation de plan. On en conclut que (P) est un plan est non une droite. C'est faux.
16.b) En reprenant l'équation de tout à l'heure, on sait que le vecteur (a;b;c) est normal au plan.
Soient p(1;1;0) et r(0;0;1) des vecteurs normaux respectivement à (P) et (R).
Il est clair qu'ils ne sont pas colinéaires à cause des 0, donc les plans (P) et (R) ne sont pas parallèles. Leur intersection est par conséquent une droite : c'est vrai.
16.c) Soit q(2;-1;-1) un vecteur normal à (Q).
p.q = 1 ≠ 0, donc les plans (P) et (Q) ne sont pas perpendiculaires. C'est faux.
16.d) Les coordonnées de A vérifient les équations de chacun des 3 plans, donc A appartient aux 3 plans. Il faut répondre vrai.
@+
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Djib
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Envoyé: 26.05.2007, 17:43
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dernière visite: 26.05.07
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Salut,
Je ne suis pas d'accord avec la reponse c) de l'exercice 15-
je vais faire tout mes calculs: Merci pour le omega Jeet ^^
A(-1 2 4) B(0 -2 3) C(7 1 -1) D(-2 -2 -13) Ω(-1 2 -5)
 (0 0 -9) donc AΩ=√(81)
 (-1 4 -8) donc BΩ=√(1+16+64)=√(81)
 (-8 1 -4) donc CΩ=√(81)
 (1 4 8) donc DΩ=√(81)
voila voila dites moi si jme suis trompé ^^
modifié par : Djib, 26 Mai 2007 - 18:22
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Jeet-chris
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Envoyé: 26.05.2007, 18:16
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Modérateur
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dernière visite: 22.06.08
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Salut.
Ah oui zut, je m'étais trompé en recopiant les coordonnées de D sur ma feuille, c'est pour ça. J'avais écrit (-2;-3;-13).
Je corrige dans mon post.
Merci.
@+
P.S. : pour écrire Ω en LaTeX, il faut écrire \Omega.
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Djib
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Envoyé: 26.05.2007, 18:24
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dernière visite: 26.05.07
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Bon et bien voila on a tout fini ^^ sa me fait 52/60 et vous?
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arnaud405
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Envoyé: 26.05.2007, 20:33
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dernière visite: 26.05.07
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moi pas loin de 2....et oui. les nuls existent aussi !
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miumiu
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Envoyé: 26.05.2007, 20:44
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Cosmos
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dernière visite: 27.03.08
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mais non personne n'est nul regarde ma signature lol
on en reparlera mardi quand tu auras une école ^^
(perso je n'ai pas compté je n'ai pas envie de tomber en dépression :D)
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arnaud405
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Envoyé: 26.05.2007, 20:57
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dernière visite: 26.05.07
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pour faire modérateur d'un site de math, je pense qu'il faut s'y connaitre un peu..bien plus que moi en tout cas..je mise tout sur la physiqu, où j'ai 27 ....mais bon...
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miumiu
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Envoyé: 26.05.2007, 21:26
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Cosmos
enregistré depuis: mar. 2006
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dernière visite: 27.03.08
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pour être modérateur c'est comme pour faire prof il ne faut pas forcément être une bête dans sa matière il faut surtout du temps, de la patience et de la pédagogie...
c'est ce que j'ai appris grâce à ma grande expérience de la vie
enfin bon là on flood ce n'est pas bien 
je vais me remettre à mon pdf de correction ^^
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