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Inéquation |
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Envoyé: 29.04.2007, 11:09
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Bonjour à tous et à toutes.
Dans le cadre de mon exercice, une fonction G m'est donnée :
G(x) = x³-0.6x²+0.6x
G est définie sur [0;1]
Je dois démontrer que:
1) G est continue et strictement croissante sur [0;1]
2) Pour tout x ∈ [0;1], 0 ≤ G(x) ≤ x
Pour le 1), j'ai calculé la dérivée qui me donnerai : G'(x) = 3x²-1.2x+0.6
Je tente, ensuite, de déterminer le signe de cette expression, en calculant Delta.
Cependant Delta est négatif, c'est pourquoi j'aimerai en déduire que l'expression est du signe de a, soit a=3. Donc la dérivée serait strictement positive et la fonction strictement croissante. Est-ce correct d'un point de vue méthode ? 
Pour le 2), je suis bloquée, de plus les mêmes questions me sont posées pour une autre fonction encore.
J'ai essayé de résoudre G(x) ≥ 0 puis x≥ G(x) mais je n'y arrive pas.
Pourriez-vous, svp, m'indiquer la marche à suivre pour aboutir à l'inéquation proposée.
Merci d'avance. 
modifié par : Jeet-chris, 29 Avr 2007 - 13:01
Nini
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Envoyé: 29.04.2007, 13:06
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Salut.
1) Parfait. 
2) Si G est croissante sur [0;1], alors pour tout x de [0;1], G(x)≥G(0). D'accord ? Ce qui résout une partie de la question.
Ensuite une manière de faire serait de montrer que la fonction H(x)=G(x)-x soit négative sur [0;1]. Comprends-tu pourquoi ?
@+
modifié par : Jeet-chris, 29 Avr 2007 - 14:19
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Envoyé: 29.04.2007, 13:50
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A peu près, car pour résoudre l'autre "branche" de l'inéquation, je résouds en fait, H(x) ≤ 0 .
Mon problème est aussi de trouver le signe de H(x), je ferai : un tableau de signe, mais auparavant je factorise par x ?
Ce qui donnerai: ׳-0.6ײ-0.4× et sous forme factorisée: x ( x²-0.6x-0.4)
Je procède à un tableau de signe, sachant que pour x²-0.6x-0.4 j'utilise delta.
Celui-ci me donne: 1.96. Donc la première solution x1 est : 1 et x2: - 0.4.
L'expression est donc du signe de a=1, sauf entre ses racines.
Au final, je trouve que l'expression est négative sur [0;1].
Je suis quasi-sûre de cela, où est donc le problème svp?
De plus, que déduire de ce résultat?
Pour moi si l'espression est négative, cela résoud mon problème, non?
Merci d'avance
Nini
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Envoyé: 29.04.2007, 14:24
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Modérateur
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Salut.
1) Ah oui, il restait à montrer la continuité. G est un polynôme donc est continue, et c'est fini.
2) Oui le problème est résolu, il n'y a donc plus de problème. 
On a donc H(x)=G(x)-x≤0, donc G(x)≤x sur [0;1].
@+
P.S. : effectivement j'avais écrit "positive" au lieu de "négative", ce qui était une erreur. Que tu l'aies remarquée montre que tu as compris.
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Envoyé: 29.04.2007, 15:36
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Merci beaucoup pour l'aide.
Bonne après-midi.
Nini
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