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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

exercice démonstration equation différentielle

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 12.04.2007, 11:08

Constellation


enregistré depuis: févr.. 2006
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Bonjour tout le monde voilà j'ai un exercice à faire et j'arrive pas du tout à le commencer alors je vien chercher de l'aide auprès de vous ! Pouriez-vous m'aider à commencer cet exo merci beaucoup d'avance ! icon_smile

Voilà l'énoncée :
λ ∈ ensr λ∈]0;1]

1. On veut étudier les fonctions dérivables sur ]-∞;1/2[ vérifiant l’équation
différentielle (Eλ ) : y′ = y² +λy et la condition y(0) = 1.
On suppose qu’il existe une solution y0 de (Eλ ) strictement positive sur ]-∞;1/2[ et on pose sur ]-∞;1/2[ : z = 1/ y0

Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

2. Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x →Ce-λx où C est une constante réelle.

a. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle
(E’λ ) : z′ = −(λz +1) telle que z(0) = 1.

b. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.


On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle
]-∞;1/2[


3. a. Démontrer que ln(1+λ ) > λ(λ+1)

On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x)−x/(x+1)

b. En déduire que 1/λ*ln(1+λ ) > 1/2


4. En déduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur ]-∞;1/2[

Démontrer alors que (Eλ ) admet une solution strictement positive sur ]-∞;1/2[
que l’on précisera.


donc voilà mon premier problème je ne sais pas comment trouver une equa. diff avec un y²
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Envoyé: 12.04.2007, 11:16

Constellation


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voilà ce que j'ai fais pour le 2 a)

(E’λ ) : z′ = −(λz +1)

z'= -λz-1

z= Ce-λx - 1/λ

z(0)=1

1 = Ce-λ0-1/λ
1+1/λ = C
(λ+1)/λ = C

C'est juste ou je me trompe ? icon_confused
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Envoyé: 12.04.2007, 11:18

Constellation


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j'ai oublié de mettre le résultat lol !

donc z= (1+λ)/λ*e-λx - 1/λ
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Envoyé: 12.04.2007, 14:01

Cosmos
Zorro

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Bonjour,

pour la 1)
z = 1/y0 donc z' = ??? donc quelle relation existe entre z' et z ?
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Envoyé: 12.04.2007, 15:29

Constellation


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je vois pas icon_frown
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Envoyé: 12.04.2007, 20:10

Cosmos
Zorro

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tu sais quand même donner une expression de z'
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Envoyé: 13.04.2007, 01:32

Une étoile
Emeride

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Bonjour ma chère zoé
Voila la réponse à la première question, il suffit juste de remplacer:
y0 vérifie l'équation donc y0' = y0² + λy0 or z = 1/y0 d'ou y0 = 1/z
donc je remplace: (1/z)' = (1/z)² + λ(1/z)
Sachant que (1/z)' = (-z'/z²) on a: (-z'/z²) = 1/z² + λ/z
-z'/z² = (1 + λz)/z²
d'ou -z' = 1 + λz
et z' = -(λz + 1)
Bonne journée!!
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Envoyé: 13.04.2007, 09:27

Constellation


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merci beaucoup ! Est ce que je pourrais savoir si mon expression de z0 est bonne parce que pour faire la suite de l'exo je crois que j'en ai besoin icon_confused

z0= (λ+1)/λ*e-λx-1/λ

merci d'avance
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Envoyé: 13.04.2007, 09:33

Constellation


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Voilà ce que j'ai fais pour le 3 a) pour démontrer que zo ne s'annule pas

(λ+1)/λ*e-λx-1/λ >0

ln((λ+1)/λ*e-λx)- ln(1/λ ) > ln(0)

ln((λ+1)/λ ) - λ + ln(λ/1) > 1

ln(λ+1) - ln(λ ) - ln(1) + ln(λ ) > 1

ln(λ+1) + ln (λ/(λ+1)) >1

et là je suis bloquée je sais pas si j'ai fais une erreur ou que je suis mal partie icon_confused
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Envoyé: 13.04.2007, 12:10

Constellation


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help je m'embrouille icon_frown
Top 
Envoyé: 15.04.2007, 19:46

Constellation


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Rebonjour tout le monde ! Me revoila lol hélas pour vous icon_lol pourriez vous me dire si ce que j'ai fais est juste svp icon_confused merci beaucoup d'avance
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Envoyé: 16.04.2007, 00:44

Une étoile
Emeride

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dernière visite: 16.09.07
Bonjour, j'espère que ma réponse t'a aidé!!
Pour la question 3a) tu t'embrouilles en effet... icon_smile
En tout cas ton z0 est juste c'est déjà bien.
Pour cette fameuse question 3a), on te demande d'étudier sur [0 , 1] une fonction, l'as-tu fait? Car c'est grâce à celle-ci que tu pourras démontrer que ln(1 + λ ) > λ/(1 + λ ) et non λ(1 + λ ) comme tu l'as marqué (moi ça m'a embrouillé en tout cas icon_smile )
Je te conseille donc de faire ça et si tu n'y arrive vraiment je te donnerais la réponse mais essaye par toi même d'abord... bon courage icon_wink
Top 
Envoyé: 06.01.2009, 22:48

estellec

enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 6

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dernière visite: 24.01.09
Est cce que vous trouvez F'(x) = 0 ..? pour l'étude de la fonction dans la 3)a) ..?
Top 
Envoyé: 06.01.2009, 22:55

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
salut

tu n'aurais pas un conflit de notations F, ou f ? faisons comme si c'était f.

f(x) = ln(1+x)−x/(x+1) à dériver

donne

f'(x) = 1/(x+1) - [(x+1) - x]/(x+1)²

c'est-à-dire

f'(x) = 1/(x+1) - 1/(x+1)² = x/(x+1)².
Top 
Envoyé: 06.01.2009, 23:30

estellec

enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 6

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dernière visite: 24.01.09
Haaaa Merci beaucoup Zauctore ! icon_smile
Top 
Envoyé: 06.01.2009, 23:40

estellec

enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 6

Status: hors ligne
dernière visite: 24.01.09
Donc f'(x) du signe de x..? pour x∈ ]-∞;-1[ , f'(x)<0
et pour x∈ ]-1;+∞[, f'(x)>0
et f décroissant sur ]-∞,-1[
et f croissant sur ]-1,+∞[

?
Top 
Envoyé: 07.01.2009, 07:03

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
re.

l'étude a lieu sur ]0 ; 1] où f est croissante.

de plus f(0) = 0, donc...
Top 


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