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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Envoyé: 31.03.2007, 17:08



enregistré depuis: mars. 2007
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Bonjour voila j'ai un exercice a faire et j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de solution alors si quelqu'un pouvait m'aider se serait très gentille :

On considère un triangle ABC dont on note G le centre de gravité, et A', B', C' les milieux des cotés [BC], [CA], [AB]

On pose également a = BC, b = CA et c = AB

1) Etablir que GB² + GC² = 1/9 ( b² + c² + 4a² )
2) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que les médianes de ABC issues de B et de C soient orthogonales.
3) Trouver et construire un triangle non aplati ayant des cotés de longueur entière et deux medianes orthogonales.

Voila je m'arrache les cheveux la dessus.Merci d'avance
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Envoyé: 31.03.2007, 17:23

Modérateur


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dernière visite: 24.02.13
Salut.

1) J'ai trouvé une manière de résoudre la question en utilisant le théorème de la médiane. Regarde donc de ce côté là. icon_smile

@+
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Envoyé: 31.03.2007, 17:43



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Oui j'ai déja essayé mais je n'ai pas réussi a tomber sur le bon résultat
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Envoyé: 31.03.2007, 18:18

Cosmos
Zorro

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Théorème de la médiande dans ABC :

AB2 + AC2 = 2AA'2 + a2/2

donc 2AA'2 = AB2 + AC2 - a2/2 = c2 + b2 - a2/2

Théorème de la médiande dans GBC :

GB2 + GC2 = 2GA'2 + a2/2

Or le centre de gravité est placé de façon que GA'vect = (1/3) AA'vect

donc GA'2 = (1/9) AA'2

Donc GB2 + GC2 = (1/9) * 2AA'2 + a2/2

Il ne reste plus qu à remplacer 2AA'2 par ce qu'on a trouvé + haut ....

modifié par : Zorro, 31 Mar 2007 - 18:18
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Envoyé: 31.03.2007, 18:23

Cosmos
Zorro

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Pour que les médianes issues de B et C soient orthogonales, il faut que GBC soit rectangle en G ... Donc Pythagore ....
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Envoyé: 31.03.2007, 19:13



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dernière visite: 02.04.07
merci beaucoup pour la première question pour la deuxième je vois ce qu'il faut faire.
Pour que les medianes issue de B et de C soient orthogonales, il faut que le triangle GBC soit rectangle en G.
GB² + GC² = a²
1/9 ( b² + c² + 4a² ) = a ²
b² + c² - 5a² = 0
Mais par contre je ne vois pas comment faire pour la troisième
Top 
Envoyé: 31.03.2007, 19:23

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
Il faut donc que b² + c² - 5a² = 0 soit 5a² = b² + c²

Soit a² = (b² + c²)/5 et il faut que a , b et c soient des entiers ... donc il faut trouver des entiers b et c qui vérifient (b² + c²)/5 est un entier !

Tu peux t'aider d'un tableau Excel pour en trouver !
Top 
Envoyé: 31.03.2007, 20:12



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dernière visite: 02.04.07
Mais dans ce cas il peut y avoir plusieurs réponses
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Envoyé: 31.03.2007, 20:32

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
Et oui !!! il y en a plusieurs !!!

par exemple a=1 b=1 et c=2 fonctionnent mais ces dimensions donnent un triangle plat puisque la longueur du plus grand côté n'est pas srtictement inférieur à la somme des 2 autres ...

Il y a aussi 30 , 12 et 66 qui ne conviennent pas

Par contre 13 ; 19 et 22 conviennent ...
Et 17 ; 22 et 31 aussi
Top 
Envoyé: 01.04.2007, 09:56



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Messages: 8

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dernière visite: 02.04.07
ok merci beaucoup pour ton aide maintenan je vé faire un autre exercice
Top 
Envoyé: 02.04.2007, 00:03

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
De rien ...

La prochaine fois essaye de faire moins de fautes d'orthographe icon_wink

maintenant .... je vais(é) faire

2 fautes par ligne c'est plus que ce qu'un prof admettra dans ta prochaine copie (quelle que soit la matière) ! icon_wink
Top 
Envoyé: 02.04.2007, 11:01



enregistré depuis: mars. 2007
Messages: 8

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dernière visite: 02.04.07
ok je ferais attention la prochaine fois
Top 


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