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Envoyé: 31.03.2007, 17:08
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Bonjour voila j'ai un exercice a faire et j'ai beau chercher je n'arrive pas a trouver de solution alors si quelqu'un pouvait m'aider se serait très gentille :
On considère un triangle ABC dont on note G le centre de gravité, et A', B', C' les milieux des cotés [BC], [CA], [AB]
On pose également a = BC, b = CA et c = AB
1) Etablir que GB² + GC² = 1/9 ( b² + c² + 4a² )
2) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que les médianes de ABC issues de B et de C soient orthogonales.
3) Trouver et construire un triangle non aplati ayant des cotés de longueur entière et deux medianes orthogonales.
Voila je m'arrache les cheveux la dessus.Merci d'avance
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Envoyé: 31.03.2007, 17:23
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Modérateur
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Salut.
1) J'ai trouvé une manière de résoudre la question en utilisant le théorème de la médiane. Regarde donc de ce côté là. 
@+
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Envoyé: 31.03.2007, 17:43
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Oui j'ai déja essayé mais je n'ai pas réussi a tomber sur le bon résultat
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Envoyé: 31.03.2007, 18:18
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Théorème de la médiande dans ABC :
AB2 + AC2 = 2AA'2 + a2/2
donc 2AA'2 = AB2 + AC2 - a2/2 = c2 + b2 - a2/2
Théorème de la médiande dans GBC :
GB2 + GC2 = 2GA'2 + a2/2
Or le centre de gravité est placé de façon que GA' = (1/3) AA'
donc GA'2 = (1/9) AA'2
Donc GB2 + GC2 = (1/9) * 2AA'2 + a2/2
Il ne reste plus qu à remplacer 2AA'2 par ce qu'on a trouvé + haut ....
modifié par : Zorro, 31 Mar 2007 - 18:18
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Envoyé: 31.03.2007, 18:23
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Pour que les médianes issues de B et C soient orthogonales, il faut que GBC soit rectangle en G ... Donc Pythagore ....
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Envoyé: 31.03.2007, 19:13
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merci beaucoup pour la première question pour la deuxième je vois ce qu'il faut faire.
Pour que les medianes issue de B et de C soient orthogonales, il faut que le triangle GBC soit rectangle en G.
GB² + GC² = a²
1/9 ( b² + c² + 4a² ) = a ²
b² + c² - 5a² = 0
Mais par contre je ne vois pas comment faire pour la troisième
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Envoyé: 31.03.2007, 19:23
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Il faut donc que b² + c² - 5a² = 0 soit 5a² = b² + c²
Soit a² = (b² + c²)/5 et il faut que a , b et c soient des entiers ... donc il faut trouver des entiers b et c qui vérifient (b² + c²)/5 est un entier !
Tu peux t'aider d'un tableau Excel pour en trouver !
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Envoyé: 31.03.2007, 20:12
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Mais dans ce cas il peut y avoir plusieurs réponses
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Envoyé: 31.03.2007, 20:32
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Et oui !!! il y en a plusieurs !!!
par exemple a=1 b=1 et c=2 fonctionnent mais ces dimensions donnent un triangle plat puisque la longueur du plus grand côté n'est pas srtictement inférieur à la somme des 2 autres ...
Il y a aussi 30 , 12 et 66 qui ne conviennent pas
Par contre 13 ; 19 et 22 conviennent ...
Et 17 ; 22 et 31 aussi
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Envoyé: 01.04.2007, 09:56
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ok merci beaucoup pour ton aide maintenan je vé faire un autre exercice
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Envoyé: 02.04.2007, 00:03
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De rien ...
La prochaine fois essaye de faire moins de fautes d'orthographe 
maintenant .... je vais(é) faire
2 fautes par ligne c'est plus que ce qu'un prof admettra dans ta prochaine copie (quelle que soit la matière) !
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Envoyé: 02.04.2007, 11:01
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ok je ferais attention la prochaine fois
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