Plan

Bonjour tout le monde,
Voila un exercice qui me pose probleme :

1.On a le pan P passant par le point B(1;-2;1) et de vecteur normal n(-2;1;5)
et le plan R d'equation cartésienne x + 2y - 7 = 0
a) Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
b)Démontrer que l'intersection des plan P et R est la droite Λ passant par le point C(-1;4;-1) et de vecteur directeur u(2;-1;1)

Pour le a) j'ai trouvé mais pour le b) je voie pas.
Merci de votre aide.

Salut,

il faut que tu fasses un sytème avec les équations des 2 plans pour pouvoir obtenir une représentation paramétrique de la droite recherchée. Et ensuite tu montreras en te servant des coordonnées de C que ce point appartient à la fois à P, à R et à cette droite.

Est ce que c'est bon si je fais :
Equation cartésienne de P :
-2(1) + 1(-2) +5(1) + d =0
donc d=-1
=> P : -2x + y + 5z -1=0

Vérifions que C vérifie les equations :
P : -2(-1)+4+5(-1)-1=0
R : -1+2(4)-7 =0
Donc C vérifie les équations

Vérifions que u(2;-1;1) est orthogonal à n(-2;1;5) et à n'(1;2;0)
u.n=-4-1+5=0
u.n'=2-2=0
Donc l'intersection de P et R est la droite ∧.

Pour ce qui est de l'appartenance de C à P, R et $δ\delta$ , c'est juste.

Ca ne me paraît pas être une bonne démonstration. Voilà ce que j'aurais plutôt fait.

On pose le système :
$\begin \left{ \ 2x-y-5z+1=0\ x +2y -7=0 \right.$

Ceci équivaut à :
$\begin \left{ \ x=-2y+7\ 2(-2y+7)-y-5z+1=0 \right.$

Ceci équivaut à :
$\begin \left{ \ x=-2y+7\ -5y-5z+15=0 \right.$

Ceci équivaut à :
$\begin \left{ \ x=-2y+7\ y3=0 \right.$

Ceci équivaut à :
$\begin \left{ \ x=-2(3-z)+7\ y=3-z \right.$

Ceci équivaut à :
$\begin \left{ \ x=2z+1 \ y=3-z \right.$ $z \in \r$

Maintenant, si on pose z= $α\alpha$ , on obtient la représentation paramétrique de la droite qui est à l'intersection des plans P et R :

$\begin \left{ \ x=1+2\alpha \ y=3-\alpha \ z=\alpha \right.$ $\alpha \in \r$

Cette droite a pour vecteur directeur $u⃗\vec{u}$ de coordonnées (2;-1-1).

Merci

je t'en prie